Question

9．已知关于x的方程x²-（m+n+2）x+2m=0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．
（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；
（2）求证：α≤2≤β；
（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，2），C（2，2），问是否存在点P，使m+n=$\frac{13}{4}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为原方程有两个实数根，故判别式△=（m+n+2）²-8m=（m+n-2）²+8n≥0，且α+β=m+m+2，αβ=2m，即可得出结论；
（2）因为α≤β，故只需求（2-α）（2-β）≤0即可；
（3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标．

解答 解：（1）∵α、β为方程x²-（m+n+）x+2m=0（n≥0）的两个实数根，
∴判别式△=（m+n+2）²-8m=（m+n-2）²+8n≥0，
且α+β=m+n+2，αβ=2m，
于是m=$\frac{1}{2}$αβ，
n=α+β-m-2=α+β-$\frac{1}{2}$αβ-2；
（2）∵（2-α）（2-β）=4-2（α+β）+αβ=-2n≤0（n≥0），
又α≤β，
∴α≤2≤β；
（3）若使m+n=$\frac{13}{4}$成立，只需α+β=m+n+2=$\frac{13}{4}+2$=$\frac{21}{4}$①，
①当点M（α，β）在BC边上运动时，
由B（1，2），C（2，2），
得1≤α≤2，β=2，
而α=$\frac{21}{4}$-β=$\frac{13}{4}$＞2，
故在BC边上存在满足条件的点，其坐标为（$\frac{13}{4}$，2）所以不符合题意舍去；
即在BC边上不存在满足条件的点；
②当点M（α，β）在AC边上运动时，
由A（2，4），C（2，2），
得α=2，2≤β≤4，
此时β=$\frac{21}{4}$-α=$\frac{13}{4}$，
又因为2＜$\frac{13}{4}$＜4，
故在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（2，$\frac{13}{4}$）；
③当点M（α，β）在AB边上运动时，
由A（2，4），B（1，2），
得1≤α≤2，2≤β≤4，
由平面几何知识得，$\frac{2-α}{2-1}=\frac{4-β}{4-2}$，
于是β=2α②，
联立①②，解得α=$\frac{7}{4}$，β=$\frac{7}{2}$，
又因为1＜$\frac{7}{4}$＜2，2＜$\frac{7}{2}$＜4，
故在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（$\frac{7}{4}$，$\frac{7}{2}$）．
综上所述，当点M（α，β）在△ABC的三条边上运动时，存在点（2，$\frac{13}{4}$）和点（$\frac{7}{4}$，$\frac{7}{2}$），使m+n=$\frac{13}{4}$成立．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了将根与系数的关系、根的判别式与动点问题相结合，体现了运动变化的观点，分类类讨论是解本题的关键．