Question

【题目】在⊙O中，点C在劣弧上，D是弦AB上的点，∠ACD=40°．

（1）如图1，若⊙O的半径为3，∠CDB=70°，求的长；

（2）如图2，若DC的延长线上存在点P，使得PD=PB，试探究∠ABC与∠OBP的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）π；（2）∠ABC+∠OBP=130°．

【解析】试题分析：

试题解析：

（1）如图1，连接OC，OB．

∵∠ACD=40°，∠CDB=70°

∴∠CAB=∠CDB﹣∠ACD=70°﹣40°=30°，

∴∠BOC=2∠BAC=60°，

∴弧BD===π．

（2）∠ABC+∠OBP=130°，

证明：设∠CAB=α，∠ABC=β，∠OBA=γ，

如图2，连接OC，则∠COB=2α，∵OB=OC，

∴∠OCB=∠OBC=β+γ，

∵△OCB中，∠COB+∠OCB+∠OBC=180°，

∴2α+2（β+γ）=180°，即α+β+γ=90°，

∵PB=PD，

∴∠PBD=∠PDB=40°+α，

∴∠OBP=∠OBA+∠PBD

=γ+40°+α

=（90°﹣β）+40°

=130°﹣β，即∠ABC+∠OBP=130°．