【题目】(1) 如图1所示,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,试说明:∠D=90°+∠A.
(2)探究,请直接写出下列两种情况的结果,并任选一种情况说明理由:
①如图2所示,BD,CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线,试探究∠A与∠D之间的等量关系;
②如图3所示,BD,CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,试探究∠A与∠D之间的等量关系.
【答案】(1)证明见解析;(2)①∠A=180°2∠D,理由见解析;②∠A=2∠D,理由见解析
【解析】
(1)首先利用角平分线性质得出∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,再利用三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°以及∠DBC+∠DCB+∠D=180°,据此进一步加以变形求证即可;
(2)①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2∠DBC,∠FCB=2∠DCB,然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A2(∠DBC+∠DCB)=-180°,据此进一步加以分析证明即可;②利用三角形外角性质可知∠DCE=∠DBC+∠D,然后再利用角平分线性质得出2∠DBC=∠ABC,2∠DCE=∠ACE,最后再结合∠A+∠ABC=∠ACE进一步证明即可.
(1)∵BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠DBC=∠ABC,∠DCB=∠ACB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°∠A,
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
∴∠D=180°(∠DBC+∠DCB)
=180°(∠ABC+∠ACB)
=180°(180°∠A)
=180°90°+∠A
=90°+∠A,
即:∠D=90°+∠A;
(2)①∠A=180°2∠D,理由如下:
∵BD,CD分别是∠EBC和∠FCB的平分线,
∴∠EBC=2∠DBC,∠FCB=2∠DCB,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC=180°(∠A+∠ACB)=180°2∠DBC,
∠ACB=180°(∠A+∠ABC)=180°2∠DCB,
∴∠A+180°2∠DBC+180°2∠DCB=180°,
∴∠A2(∠DBC+∠DCB)=180°,
又∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,
∴∠DBC+∠DCB=180°∠D,
∴∠A2(∠DBC+∠DCB)=∠A2(180°∠D)=180°,
即:∠A360°+2∠D=180°,
∴2∠D=180°∠A,
即:∠A=180°2∠D;
②∠A=2∠D,理由如下:
∵∠DCE是△ABC的一个外角,
∴∠DCE=∠DBC+∠D,
∵BD,CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,
∴2∠DBC=∠ABC,2∠DCE=∠ACE,
∵∠A+∠ABC=∠ACE,
∴∠A+2∠DBC=2∠DCE,
∴∠A+2∠DBC=2∠DBC+2∠D,
∴∠A=2∠D.
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【题目】如图,在△ABE中,∠BAE=105°,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB=CE,则∠B的度数是( )
A. 45°B. 60°C. 50°D. 55°
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【题目】如图1,直线PQ⊥直线MN,垂足为O,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,斜边AB与直线PQ交于点C.
(1)若∠A=∠AOC=30°,则BC_______BO(填“>”“=”“<”);
(2)如图2,延长AB交直线MN于点E,过O作OD⊥AB,若∠DOB=∠EOB,∠AEO=α,求∠AOE的度数(用含α的代数式表示);
(3)如图3,OF平分∠AOM,∠BCO的平分线交FO的延长线于点R,∠A=36°,当△AOB绕O点旋转(斜边AB与直线PQ始终相交于点C),问∠R的度数是否发生改变?若不变,求其度数;若改变,请说明理由.
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【题目】如图,三角形中,,将角形绕点按逆时针方向旋转后得到三角形在旋转过程中:
旋转中心是什么?为多少度?
与线段相等的线段是什么?
三角形的面积是多少?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与⊙O相切于E,F,G三点,过点D作⊙O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( )
A. B. C. D. 2
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【题目】(8分)某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆,乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆,乙种花卉9盆.
(l)某校2015届九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来;
(2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种造型的成本是360元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元?
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【题目】(12分)如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E、F分别在边CD、AB上.
(1)若DE=BF,求证:四边形AFCE是平行四边形;
(2)若四边形AFCE是菱形,求菱形AFCE的周长.
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【题目】如图所示,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,则∠ABP的度数为( )
A.15° B.30° C.60° D.90°
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