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【题目】1 如图1所示,BDCD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,试说明:∠D=90°+A

2)探究,请直接写出下列两种情况的结果,并任选一种情况说明理由:

①如图2所示,BDCD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线,试探究∠A与∠D之间的等量关系;

②如图3所示,BDCD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,试探究∠A与∠D之间的等量关系.

【答案】1)证明见解析;(2)①∠A=180°2D,理由见解析;②∠A=2D,理由见解析

【解析】

1)首先利用角平分线性质得出∠DBC=ABC,∠DCB=ACB,再利用三角形内角和定理得出∠A+ABC+ACB=180°以及∠DBC+DCB+D=180°,据此进一步加以变形求证即可;

2)①首先理由角平分线性质得出∠EBC=2DBC,∠FCB=2DCB,然后再利用三角形内角和性质进一步整理得出∠A2(DBC+DCB)=-180°,据此进一步加以分析证明即可;②利用三角形外角性质可知∠DCE=DBC+D,然后再利用角平分线性质得出2DBC=ABC2DCE=ACE,最后再结合∠A+ABC=ACE进一步证明即可.

1)∵BDCD分别是∠ABC,∠ACB的平分线,

∴∠DBC=ABC,∠DCB=ACB

∵∠A+ABC+ACB=180°

∴∠ABC+ACB=180°A

又∵∠DBC+DCB+D=180°

∴∠D=180°(DBC+DCB)

=180°(ABC+ACB)

=180°(180°A)

=180°90°+A

=90°+A

即:∠D=90°+A

2)①∠A=180°2D,理由如下:

BDCD分别是∠EBC和∠FCB的平分线,

∴∠EBC=2DBC,∠FCB=2DCB

∵∠A+ABC+ACB=180°

∴∠ABC=180°(A+ACB)=180°2DBC

ACB=180°(A+ABC)=180°2DCB

∴∠A+180°2DBC+180°2DCB=180°

∴∠A2(DBC+DCB)=180°

又∵∠DBC+DCB+D=180°

∴∠DBC+DCB=180°D

∴∠A2(DBC+DCB)=A2(180°D)=180°

即:∠A360°+2D=180°

2D=180°A

即:∠A=180°2D

②∠A=2D,理由如下:

∵∠DCE是△ABC的一个外角,

∴∠DCE=DBC+D

BDCD分别是∠ABC和∠ACE的平分线,

2DBC=ABC2DCE=ACE

∵∠A+ABC=ACE

∴∠A+2DBC=2DCE

∴∠A+2DBC=2DBC+2D

∴∠A=2D.

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