Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，过B点作⊙O₁的切线交⊙O₂于D点，连接DA并延长⊙O₁相交于C点，连接BC，过A点作AE∥BC与⊙O相交于E点，与BD相交于F点．
（1）求证：EF•BC=DE•AC；
（2）若AD=3，AC=1，，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接AB，切线DB另一端为G
∵BD是切线
∴∠ABD=∠ACB，∠CBG=∠CAB
∵∠ABD=∠DEF
∴∠ACB=∠DEF
∵AE∥BC
∴∠CBG=∠AFB
∵∠AFB=∠DFE
∴∠CAB=∠DFE
∴△ABC∽△FDE
∴=
∴EF•BC=DE•AC；

（2）解：∵CB∥AE，
∴=，
∴=，
∴CB=，
∵BD为⊙O₁的切线，
∴∠ABD=∠C，
又∵CB∥AE，
∴∠ABC=∠BAF，
∴△AFB∽△BAC，
∴=，
∴AB²=AF•BC=×=4，
∴AB=2．
又∵DB²=AD•CD，
∴DB==2，
连接BE，∴△ACB∽△EBD，
∴=，
∴=，
∴DE=3．
∵EF•BC=DE•AC，
∴EF•=3×1，
∴EF=．
分析：（1）连接AB，证明△ACB∽△FED，根据相似三角形的性质，可得EF•BC=DE•AC；
（2）先证出△AFB∽△BAC，利用相似三角形的性质，得=，可求出AB的长；连接BE，利用△ACB∽△EBD，利用相似三角形的性质，可得=，可求出DE的长，再将所求数据代入EF•BC=DE•AC；便可求出EF的长．
点评：本题不仅考查了和圆相关的相似三角形的性质，还考查了切割线定理、圆内接四边形的性质等知识，有一定的难度．