Question

18．你能求（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：
（1）（x-1）（x+1）=x²-1；
（2）（x-1）（x²+x+1）=x³-1；
（3）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
…
由此我们可以得到：（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1；
请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1；     
（2）（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁸+…+（-2）+1．

Answer 1

分析 观察所给等式，可得出规律，可求得（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）；
（1）可在等式的前面乘（2-1），再利用所得的规律计算即可；
（2）可在等式的前面乘（-2-1），再利用所得的规律进行计算，再除以-3即可求得结果．

解答 解：观察所给等式可得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1，
故答案为：x¹⁰⁰-1；
（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1=（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1）=2¹⁰⁰-1；
（2）∵（-2-1）[（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁸+…+（-2）+1]=（-2）¹⁰⁰-1=2¹⁰⁰-1，
∴（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁹+（-2）⁹⁸+…+（-2）+1=（2¹⁰⁰-1）÷（-2-1）=$\frac{1-{2}^{100}}{3}$．

点评 本题主要考查规律的总结及应用，由所给等式总结出等式的规律是解题的关键．注意规律的灵活运用．