Question

【题目】已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；

（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；

（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）如图一中，延长使得，连接、，先证明，再证明即可解决问题．

（2）补充图形如图二所示，延长交的延长线于，只要证明，再证明是等腰直角三角形即可．

（3）如图三中，如图一中，延长使得，连接、，，先证明，再证明即可．

（1）证明：如图一中，延长DM使得MN=DM，连接BN、CN．

在△DME和△NMB中，，

∴△DME≌△NMB，

∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，

∴DE∥NB，

∴∠ADE=∠ABN=90°，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，

∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，

∴∠CBN=45°=∠A，

在△ACD和△BCN中，，

∴△ACD≌△BCN，

∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，

∴∠DCN=∠ACB=90°，

∴△DCN是等腰直角三角形，

DM=MN，

∴DM=CM．DM⊥CM

（2）解：如图二所示

延长DM交CB的延长线于N， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，

∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，

∵∠EDC+∠DCN=180°，

∴DE∥CN，

∴∠EDM=∠N

在△DME和△NMB中，，

∴△DME≌△NMB，

∴DE=BN=AD，DM=MN，

∴CD=CN，

∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，

∴DM=CM．DM⊥CM．

（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．

∵DE∥AB，

∴∠MBN=∠MED，

在△DME和△NMB中，，

∴△DME≌△NMB，

∴DE=BN=AD，DM=MN，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，

∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AED+∠BAE=180°，

∴∠BAE=135°，

∵∠BAC=∠EAD=45°，

∴∠DAC=∠CBN=45°

在△ACD和△BCN中，，

∴△ACD≌△BCN，

∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，

∴∠DCN=∠ACB=90°，

∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，

∴DM=CM．DM⊥CM