Question

【题目】综合与探究：如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0)，C (2，3)两点，与y轴交于点N，其顶点为D 。

（1）确定抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）点M在直线x =3上，求使 MN＋MD 的值最小时的M点坐标；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF∥BD 交抛物线于点F，以B、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3，直线AC为y=x+1．（2）M（3，）；（3）E（0，1）或（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；

（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．

（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．

试题解析：（1）由抛物线y=-x2+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3），可得：

，解得：，

故抛物线为y=-x2+2x+3，

设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（-1，0）、C（2，3）代入得：

，解得：，

故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），

可求出直线DN′的函数关系式为y=-x+，

当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=-×3+=．

∴M（3，）

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）

点E在直线AC上，设E（x，x+1），

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），

∵F在抛物线上，

∴x+3=-x2+2x+3

解得，x=0或x=1（舍去），

则点E的坐标为：（0，1）．

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），

∵点F在抛物线上，

∴x-1=-x2+2x+3，

解得x=或x=，

即点E的坐标为：（，）或（，）

综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．