Question

9．如图，AB与CD是半径为1的⊙O互相垂直的两直径，E为弧AD的三等分点（点E距点D近），P是直径CD上一动点，则PA+PE的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作E关于CD的对称点F，连接AF交CD于P，于是得到AF=PA+PE的最小值，根据已知条件得到$\widehat{DE}$的度数等于30°，求得$\widehat{BF}$的度数等于60°，于是得到∠BAF=30°，根据圆周角定理得到∠AFB=90°，求得AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 解：作E关于CD的对称点F，连接AF交CD于P，
则AF=PA+PE的最小值，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°，
∵E为弧AD的三等分点（点E距点D近），
∴$\widehat{DE}$的度数等于30°，
∴$\widehat{DF}$的度数等于30°，
∴$\widehat{BF}$的度数等于60°，
∴∠BAF=30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴AB=2，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$，
∴PA+PE的最小值为$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出PA+PE的最小值是解题的关键．