Question

18．如图，A、B两点在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，已知点$A（1，4），B（\frac{5}{2}，m）$，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面积为S，另两个矩形面积分别记为S₁、S₂．
（1）求反比例函数解析式及m的值；
（2）求S₁+S₂的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把点B的坐标代入y=$\frac{4}{x}$即可求得m的值．
（2）欲求S₁+S₂，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=$\frac{4}{x}$的系数4，然后根据S₁+S₂=4+4-2S求得即可．

解答 解：（1）∵点A（1，4）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$，
∵点B（$\frac{5}{2}$，m）在双曲线y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴m=$\frac{4}{\frac{5}{2}}$=$\frac{8}{5}$．
（2）∵点A、B是双曲线y=$\frac{4}{x}$上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
即S₁+S=4，S+S₂=4，
∵S=1×$\frac{8}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴S₁+S₂=4+4-2×$\frac{8}{5}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数的图象和性质及反比例函数系数k的几何意义，有一定的难度．