Question

7．如图，锐角△ABC的外接圆O．在BC边上取两点D、E使∠BAD=∠CAE，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，AD的延长线交⊙O于点P．求证：AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

Answer 1

分析 构造以AE为直径的圆G，作圆G的直径MF，连接NF、BP．由题意可知∠EMA+∠ENA=180°，则点A、M、E、N共圆，由MN=MFsin∠MFN，AE=MF，∠MAN=∠MFN，可知MN=AEsin∠BAC，故此可得到AE=$\frac{MN}{sin∠BAC}$．由∠C=∠P，∠BAD=∠CAE可知△APB∽△ACE，从而得到$\frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AC}$，故此可证明AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

解答 解：如图所示，构造以AE为直径的圆G，作圆G的直径MF，连接NF、BP．

∵EM⊥AB，EN⊥AC，
∴∠EMA=∠ENA=90°．
∴∠EMA+∠ENA=180°．
点A、M、E、N共圆．
∵∠AME=90°，
∴AE是圆G的直径．
∵MF是圆G的直径，
∴∠MNF=90°．
∴MN=MFsin∠MFN．
∵AE=MF，∠MAN=∠MFN，
∴MN=AEsin∠BAC．
∴AE=$\frac{MN}{sin∠BAC}$．
∵∠C=∠P，∠BAD=∠CAE，
∴△APB∽△ACE．
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AP}{AC}$．
∴AP•AE=AB•AC．
∴AP•$\frac{MN}{sin∠BAC}$=AB•AC．
∴AP•MN=AB•AC•sin∠BAC．

点评 本题主要考查的圆周角定理、相似三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义、四点共圆，证得AE=$\frac{MN}{sin∠BAC}$是解题的关键．