Question

13．如图：E、F、G、H分别为菱形ABCD的中点，试判断四边形EFGH的形状？并证明．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理得到EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据平行线的性质证明EF⊥EH即可．

解答 解：四边形EFGH是矩形，
证明：连接AC、BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E、H分别为AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理，FG∥BD，FG=$\frac{1}{2}$BD，EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EH∥BD，AC⊥BD，
∴AC⊥EH，又EF∥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形．

点评 本题考查的是中点四边形的知识，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定定理和菱形的性质是解题的关键．