[题目]如图.AB是⊙O的直径.C为圆上一点.且∠AOC＝120°.⊙O的半径为2.P为圆上一动点.Q为AP的中点.则CQ的长的最值是．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_____．

【答案】1+

【解析】

如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.

解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．

∵AQ＝QP，

∴OQ⊥PA，

∴∠AQO＝90°，

∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，

当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，

∵∠AOC＝120°，

∴∠COH＝60°，

在Rt△OCH中，

∵OC＝2，

∴OH＝OC＝1，CH＝，

在Rt△CKH中，CK＝＝，

∴CQ的最大值为1+.

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（1）清明节期间，若选择红汤火锅的人数不超过鸳鸯火锅人数的1.5倍．求至少有多少人选择鸳鸯火锅？

（2）“五一”节期间，因天气渐热的原因，前来就餐的游客人数有所下降，与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时相比，选择两种火锅的人数均下降了a%；人均消费与清明节期间相比均有所上升，其中鸳鸯火锅的人均消费上涨了a%，红汤火锅的人均消费上涨了%，最终“五一”节期间两种火锅的总销售额与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时的两种火锅的总销售额持平，求a的值．