Question

【题目】如图，已知直线y＝﹣x+2与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点M．

①点C是直线AB上方抛物线上一点，当△MNC∽△BPM相似时，求出点C的坐标．

②若∠NAB＝60°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2．（2）①点C的坐标为（，）或（，）②点P的坐标为（，0）．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①设点P的坐标为（x，0），则点N的坐标为（x，-x2+ x+2），点C的坐标为（-x，-x2+x+2），点M的坐标为（-x+2），进而可得出MN=-x2+4x，CN=|2x-|，由相似三角形的性质即可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，进而可得出点C的坐标；
②过点N作NE⊥AB于点E，设点P的坐标为（m，0），则PM=-m+2，MN=-m2+4m，利用相似三角形的性质及特殊角的三角函数值可用含m的代数式表示出BM，ME，AE的长度，再利用勾股定理即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，

∴点A的坐标为（0，2）；

当y＝0时，﹣x+2＝0，

解得：x＝4，

∴点B的坐标为（4，0）．

将A（0，2），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，

解得：，

∴这个抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．

（2）①当△MNC∽△BPM相似时，如图1所示．

设点P的坐标为（x，0），则点N的坐标为（x，﹣x2+x+2），点C的坐标为（﹣x，﹣x2+x+2），点M的坐标为（﹣x+2），

∴MN＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+4x，CN＝|x﹣（﹣x）|＝|2x﹣|．

∵△MNC∽△BPM，

∴＝，即＝，

解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），x3＝1，x4＝7（舍去），

∴﹣x＝或，

∴当△MNC∽△BPM时，点C的坐标为（，）或（，）．

②过点N作NE⊥AB于点E，如图2所示．

设点P的坐标为（m，0），则PM＝﹣m+2，MN＝﹣m2+4m，

∴BM＝PM＝﹣m+2，ME＝MN＝（﹣m2+4m），NE＝2ME＝（﹣m2+4m），AE＝NE＝（﹣m2+4m），

∴BM+ME+AE＝AB，即﹣m+2+（﹣m2+4m）+（﹣m2+4m）＝，

整理得：（6+4）m2﹣（16+9）m＝0，

解得：m1＝0（舍去），m2＝，

∴当∠NAB＝60°时，点P的坐标为（，0）．