【题目】如图,已知直线y=﹣2x+6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,且点A(1,4)为抛物线的顶点,点B在x轴上
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第三象限图象上是否存在一点P,使△POB≌△POC?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)存在. P().
【解析】
(1)根据待定系数法求解析式即可
(2)先确定出点C坐标,然后根据△POB≌△POC建立方程,求解即可
解:(1)由y=﹣2x+6=0,得x=3
∴B(3,0).
∵A(1,4)为顶点,
∴设抛物线的解析为y=a(x﹣1)2+4,解得a=﹣1.
∴y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;
(2)存在.
当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,
∴C(0,3).
∵OB=OC=3,OP=OP,
∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC.
作PM⊥x轴于M,作PN⊥y轴于N,则∠POM=∠PON=45°.
∴PM=PN.
设P(m,m),则m=﹣m2+2m+3,解得m=.
∵点P在第三象限,
∴P(,).
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【题目】二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件:当﹣2<x<﹣1时,它的图象位于x轴的下方;当6<x<7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为( )
A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24
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【题目】在平面直角坐标系中,矩形AOBC的顶点O与原点重合,A(10,0),B(0,6),以点A为中心顺时针旋转△BOA,得到△EDA,点B,O,A的对应点分别为E,D,A.
(1)如图a,当点D落在BC边上时,点D的坐标为______.
(2)如图b,当点B、D、E三点共线时,AD与BC交于点H.求点H的坐标;
(3)在△BOA旋转的过程中,M点为线段CA上中点,△DEM面积S的取值范围为____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点,以为边长在第一象限内作正方形,若反比例函数()的图象经过顶点.
(1)试确定的值;
(2)若正方形向左平移个单位后,顶点恰好落在反比例函数的图象上,试确定的值.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM,若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是_____.
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【题目】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
(1)求平均每天销售量箱与销售价元/箱之间的函数关系式.
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价(元/箱)之间的函数关系式.
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】如图,抛物线y1的顶点在y轴上,y2由y1平移得到,它们与x轴的交点为A、B、C,且2BC=3AB=4OD=6,若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等,则这条直线的解析式为____________.
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【题目】四边形ABCD是正方形,△ADF旋转一定角度后得到△ABE,如图所示,如果AF=5,AB=9.
(1)求:DE的长度;
(2)求证:BE⊥DF
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,且OC=OA
(1)求抛物线解析式;
(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线,与直线AC交于点N.已知M点的横坐标为m,试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S,并求当MN的长最大时S的值.
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