【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=COCP;
(3)若PD=,求⊙O的直径.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
(3)⊙O的直径为.
【解析】试题分析:(1)连结OA、AD,如图,利用圆周角定理得到∠CAD=90°,∠ADC=∠B=60°,则∠ACD=30°,再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°,接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°,然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°,于是根据切线的判定定理可判断AP与 O相切;
(2)通过△ACO∽△PCA,得到=,由于AC=AP于是得到结论;
(3)连接AD,证得△AOD是等边三角形,得到∠OAD=60°,求得AD=PD=,得到OD=,即可得到结论.
试题解析:(1)连结OA、AD,如图,
∵CD为直径,
∴∠CAD=90°,
∵∠ADC=∠B=60°,
∴∠ACD=30°,
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACD=30°,
∵∠AOD=2∠ACD=60°,
∴∠OAP=180°﹣60°﹣30°=90°,
∴OA⊥PA,
∴AP与⊙O相切;
(2)∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°,
∴△ACO∽△PCA,
∴=,
∵AC=AP
∴AC2=CO.CP;
(3)∵AO=DO,∠ADC=60°,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠OAD=60°,
∴∠PAD=30°,
∴∠P=∠PAD,
∴AD=PD=,
∴OD=,
∴⊙O的直径CD=2.
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【题目】如图,点A,B,C在⊙O上,若∠BAC=45°,OB=2,则图中阴影部分的面积为( )
A. π-4 B. π-1 C. π-2 D. -2
【答案】C
【解析】试题解析:∵∠BAC=45°,
∴∠BOC=90°,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∵OB=2,
∴△OBC的BC边上的高为:OB=,
∴BC=2
∴S阴影=S扇形OBC﹣S△OBC=.
故选C.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】夏季的一天,身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度,她沿着树影BA由B到A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2m,CA=0.8m,于是得出树的高度为( )
A.8m B.6.4m C.4.8m D.10m
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【题目】如图,一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近),两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点,观测到灯塔B恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里/时,又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险?
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【题目】在学校组织的社会实践活动中,第一小组负责调查全校10000名同学每天完成家庭作业时间情况,他们随机抽取了一部分同学进行调查,井绘制了所抽取样本的频数分布表和额数分布直方图(如图).
时间x(小时) | 频数 | 百分比 |
0.5≤x<1 | 4 | 8% |
1≤x<1.5 | 5 | 10% |
1.5≤x<2 | a | 40% |
2≤x<2.5 | 15 | 30% |
2.5≤x<3 | 4 | 8% |
x≥3 | 2 | b |
频数分布表
请根据图中信息解答下列问题:
(1)该小组一共抽查了___________人;
(2)频数分布表中的a=___________,b=____________;
(3)将频数分布直方图补充完整(直接画图,不写计算过程);
(4)《辽宁省落实教育部等九部门关于中小学生减负措施实施方案》规定,初中生每天书面家庭作业时间不超过1.5小时,根据表中数据,请你提出合理化建议.
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【题目】如图,已知AB∥CD不添加任何字母和数字,请你再添加一个条件∠1=∠2成立(要求给出三个答案),并选择其中一种情况加以证明.
条件1:________________________________;
条件2:________________________________;
条件3:________________________________.
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【题目】方成同学看到一则材料:甲开汽车,乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地.设乙行驶的时间为t(h),甲乙两人之间的距离为y(km),y与t的函数关系如图1所示.
方成思考后发现了如图1的部分正确信息:乙先出发1h;甲出发0.5小时与乙相遇.
请你帮助方成同学解决以下问题:
(1)分别求出线段BC,CD所在直线的函数表达式;
(2)当20<y<30时,求t的取值范围;
(3)分别求出甲,乙行驶的路程S甲,S乙与时间t的函数表达式,并在图2所给的直角坐标系中分别画出它们的图象;
(4)丙骑摩托车与乙同时出发,从N地沿同一公路匀速前往M地,若丙经过h与乙相遇,问丙出发后多少时间与甲相遇?
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【题目】如图所示的抛物线对称轴是直线x=1,与x轴有两个交点,与y轴交点坐标是(0,3),把它向下平移2个单位后,得到新的抛物线解析式是 y=ax2+bx+c,以下四个结论:
①b2﹣4ac<0,②abc<0,③4a+2b+c=1,④a﹣b+c>0中,判断正确的有( )
A. ②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④
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【题目】某商场设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品。下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)计算并完成表格:
转动转盘的次数n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
落在“铅笔”的次数m | 68 | 111 | 136 | 345 | 564 | 701 |
落在“铅笔”的频率m/n | 0.68 | 0.74 | △ | 0.69 | 0.705 | △ |
(2)请估计,当n很大时,频率将会接近多少?
(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少?
(4)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?(精确到1°)
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=6,DC=2,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为( )
A.8B.10C.12D.14
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