Question

4．如图，B，D是反比例函数图象上两点，过B，D作x轴垂线，垂足分别为A，C，连接OD交AB于点E，若∠BOA=60°，OD是∠BOA的平分线，四边形ACDE的面积为$\sqrt{2}$．试写出反比例函数在第一象限内的解析式y=$\frac{3\sqrt{2}}{x}$．

Answer 1

分析 根据反比例系数的几何意义知S_△BOE=S_{四边形ACDE}=$\sqrt{2}$，设B坐标为（x，$\frac{k}{x}$），由AB=OA•tan∠BOA知k=$\sqrt{3}$x²，根据S_△BOE=S_△AOB-S_△AOE列出关于x的方程得x²，从而得知k的值．

解答 解：设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$（k＞0），
∵S_△AOB=S_△COD=$\frac{1}{2}$k，即S_△AOE+S_△BOE=S_△AOE+S_{四边形ACDE}，
∴S_△BOE=S_{四边形ACDE}=$\sqrt{2}$，
设点B坐标为（x，$\frac{k}{x}$），
则OA=x，AB=$\frac{k}{x}$，
∵∠BOA=60°，OD平分∠BOA，
∴∠EOA=30°，AB=OA•tan∠BOA=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}x=\frac{k}{x}$，即k=$\sqrt{3}$x²，
AE=OA•tan∠EOA=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∵S_△BOE=S_△AOB-S_△AOE，
∴$\frac{1}{2}$•x•$\sqrt{3}$x-$\frac{1}{2}$•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{2}$，
得：x²=$\sqrt{6}$，
则k=$\sqrt{3}$x²=3$\sqrt{2}$，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{3\sqrt{2}}{x}$．
故答案为：y=$\frac{3\sqrt{2}}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键要熟记系数k与三角形的面积的关系．