Question

12．如图1，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使顶点B落在对角线AC边上的P处，若折痕与BC边交于点O，连接OP，AO．
（1）求证：△POC∽△DCA；
（2）若△POC与△ADC的面积比为1：4，求边DC的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，擦去折痕AO、PO，连结BP．过点A作AE⊥PB，以B为旋转中心旋转△AEB，记△A′E′B，在旋转过程中直线A′E′交AE于点F，交AC于点G，若以B，E，E′，F为顶点的四边形是正方形，求AG的长．

Answer 1

分析 （1）由折叠有：AP=AB，∠ABC=∠APO=90°，由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，从而判断出△ADC∽△CPO；
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，再利用勾股定理建立方程即可；
（3）利用三角形的相似计算出线段PM=$\frac{24}{5}$，AM=$\frac{18}{5}$，再利用S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB×PM=$\frac{1}{2}$PB×AE，AE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，即可．

解答 （1）证明：由折叠有：AP=AB，∠ABC=∠APO=90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠CPO=∠D=90°，
∵∠DAC=∠ACB，
∴△ADC∽△CPO
（2）∵△ADC∽△CPO，且$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△POC}}$=$\frac{4}{1}$，
∴$\frac{AD}{PC}$=$\frac{2}{1}$，
∴PC=4，设CD=x，
∴AB=AP=x，
∴64+x²=（x+4）²，
∴x=6，
∴CD=6；
（3）①如图3，

作PM⊥AB（如图2），
∴△APM∽△ACB，
∴PM=$\frac{24}{5}$，AM=$\frac{18}{5}$，
∴BM=$\frac{12}{5}$，
∴PB=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵AP=AB，AE⊥PB，
∴BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB×PM=$\frac{1}{2}$PB×AE，
∴AE=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵四边形BEFE′是正方形，
∴BE=BE′=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，E′F∥PB，
∴$\frac{AG}{AP}=\frac{AE′}{AE}$，
∴AG=3．
②如图4，
∵四边形BEFE'是正方形，
∴BP∥E'F，
∴$\frac{AG}{AP}=\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{AG}{6}=\frac{\frac{18\sqrt{5}}{5}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$，
∴AG=9
∴满足条件的AG=3或9．

点评 此题是几何变换综合题，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．