【题目】如图,四边形ABCD是正方形,点G是BC边上任意一点,DE⊥AG于点E,且交AG于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)如图1,连接DF、CE,探究线段DF与CE的关系并证明;
(3)如图2,若AB=,G为CB中点,连接CF,直接写出四边形CDEF的面积为______.
【答案】(1)证明见解析;(2)DF=CE且DF⊥CE,证明见解析;(3)3.
【解析】
(1)根据AAS证明即得;
(2)先根据得出,再根据同角的余角相等得出,然后根据SAS证明即得DF与CE的数量关系及,最后根据推出即得DF与CE的位置关系;
(3)连接CE、DF,先利用勾股定理及等面积法计算出BF,在利用勾股定理及垂直平分线的性质推出DF和CE的长,最后由(2)结论可推出四边形CDEF的面积即得.
(1)证明:∵DE⊥AG于点E,BF∥DE且交AG于点F,
∴BF⊥AG于点F,∠EAD+∠ADE=90°
∴∠AED=∠BFA=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD且∠BAD=∠ADC=90°,
∴∠BAF+∠EAD=90°,
∵∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠BAF=∠ADE,
在△AFB和△DEA中,
,
∴△AFB≌△DEA(AAS),
∴BF=AE;
(2)DF=CE且DF⊥CE.
理由如下:∵∠FAD+∠ADE=90°,∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°,
∴∠FAD=∠EDC,
∵△AFB≌△DEA,
∴AF=DE,
又∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,
在△FAD和△EDC中,
∴△FAD≌△EDC(SAS),
∴DF=CE且∠ADF=∠DCE,
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°,
∴∠DCE+∠CDF=90°,
∴DF⊥CE;
(3)如下图,连接CE、DF
∵AB=,G为CB中点,
∴BG=BC=,
由勾股定理得,AG===,
∵S△ABG=AGBF=ABBG,
∴×BF=××,
解得BF=,
由勾股定理得,AF===,
∵△AFB≌△DEA,
∴AE=BF=,
∴AE=EF=,
∴DE垂直平分AF,
∴DF=AD=,
由(2)知,DF=CE且DF⊥CE,
∴四边形CDEF的面积=DFCE=××=3.
故答案为:3.
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【题目】如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一直线上,且有一个公共顶点A,若正五边形ABCDE绕点A旋转x度与正五边形AFGHM重合,则x的最小值为_____.
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【题目】(1)我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动,某中学为了了解七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事的情况,随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数,并将所得数据绘制成统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
①所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 ,众数是 ,极差是 :
②根据样本数据,估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数.
(2)甲口袋有2个相同的小球,它们分别写有数字1和2;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有数字3、4和5,从这两个口袋中各随机地取出1个小球.
①用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果;
②取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少?
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【题目】如图,已知等腰Rt△ABC和△CDE,AC=BC,CD=CE,连接BE、AD,P为BD中点,M为AB中点、N为DE中点,连接PM、PN、MN.
(1)试判断△PMN的形状,并证明你的结论;
(2)若CD=5,AC=12,求△PMN的周长.
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【题目】西安汇聚了很多人们耳熟能详的陕西美食.李华和王涛同时去选美食,李华准备在“肉夹馍(A)、羊肉泡馍(B)、麻酱凉皮(C)、(biang)面(D)”这四种美食中选择一种,王涛准备在“秘制凉皮(E)、肉丸胡辣汤(F)、葫芦鸡(G)、水晶凉皮(H)”这四种美食中选择一种.
(1)求李华选择的美食是羊肉泡馍的概率;
(2)请用画树状图或列表的方法,求李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率.
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【题目】如图,已知⊙O的半径是2,点A、B、C在⊙O上,若四边形OABC为菱形,则图中阴影部分面积为( )
A. π﹣2 B. π﹣ C. π﹣2 D. π﹣
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