Question

15．如图所示，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，M是AB中点，D是线段AC上任意一点（D不与A、C重合），沿直线MD把∠A翻折，使点A落在A′处，当△A′BC为等腰三角形时，AD的长是2$\sqrt{3}$或6．

Answer 1

分析 分两种情形①如图1中，当CB=CA′时，易知四边形BCA′M是菱形．②如图2中，当A′B=A′C时，易知MA′∥AC．分别求解即可．

解答 解：分两种情形①如图1中，当CB=CA′时，易知四边形BCA′M是菱形．

∴∠MA′C=∠ABC=60°，
∵∠MAD=∠MA′D=30°，'
∴∠CA′D=90°，
∵CA′∥AB，
∴∠A′CD=30°，
∴CD=2DA′=2AD，
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=6，
∴AC=6$\sqrt{3}$，AB=2BC=12，
∴AD=$\frac{1}{3}$AC=2$\sqrt{3}$．
②如图2中，当A′B=A′C时，易知MA′∥AC．

∴∠A′MD=∠ADM=∠AMD，
∴AM=AD，
∵AM=BM，AB=12，
∴AD=6．
故答案为2$\sqrt{3}$或6．

点评 本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是西合营4分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．