【题目】如图①所示,ABCD是某公园的平面示意图,A、B、C、D分别是该公园的四个入口,两条主干道AC、BD交于点O,经测量AB=0.5km,AC=1.2km,BD=1km,请你帮助公园的管理人员解决以下问题:
(1)公园的面积为 km2;
(2)如图②,公园管理人员在参观了武汉东湖绿道后,为提升游客游览的体验感,准备修建三条绿道AN、MN、CM,其中点M在OB上,点N在OD上,且BM=ON(点M与点O、B不重合),并计划在△AON与△COM两块绿地所在区域种植郁金香,求种植郁金香区域的面积;
(3)若修建(2)中的绿道每千米费用为10万元,请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的最小值.
【答案】(1)0.48;(2)0.12km2;(3)(+5)万元.
【解析】
(1)过点B作BE⊥OA于点E,由平行四边形的性质得出AB=BO=0.5km,AO=0.6km,运用勾股定理求出BE的长,再运用三角形面积公式求出△AOB的面积,再乘以4即可得解;
(2)连接AM、CN,得出S△AMN=SABCD,由平行四边形ABCD的面积为0.48km2可得结果;
(3)将AN沿MN向下平移0.5km至PM,连接PC交BD于点M',此时点N位于N'处,此时即为AN+CM=PC取最小值,过M作MG⊥AC于点G,证明四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形,得到PC=2M'C,求出MC=可得PC的值, 从而得AN、MN、CM和的最小值为:(+0.5)km,再乘以每千米的费用即可得到答案.
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=1.2km,BD=1km,
∴OA=OC=AC=0.6km,OB=OD=BD=0.5km,
∴在△AOB中,过点B作BE⊥OA于点E,如图:
∵AB=OB=0.5km,OA=0.6km,BE⊥OA,
∴AE=OA=0.3km,
∴BE==0.4km,
∴S△AOB=OABE=×0.6×0.4=0.12km2,
∴SABCD=4S△AOB=4×0.12=0.48km2;
∴公园的面积为0.48km2.
故答案为:0.48.
(2)连接AM、CN,如图:
∵在△ACM中,OA=OC,
∴S△COM=S△AOM,
∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN.
∵OB=BM+MO,BM=ON,OB=OD=BD,
∴MN=MO+ON=OB=BD,
∴S△AMN=SABCD=0.12km2,
∴S△AON+S△COM=S△AMN=0.12km2,
∴种植郁金香区域的面积为0.12km2.
(3)将AN沿MN向下平移0.5km至PM,连接PC交BD于点M',此时点N位于N'处,此时即为AN+CM=PC取最小值,过M'作M'G⊥AC于点G,如图:
∵MN=BD=0.5km,AP∥M'N',AN'∥PC,
∴OM'为△APC的中位线,
∴OM'=AP=M'N'=ON'=km,
∴四边形APM'N'和四边形AM'CN'均为平行四边形,
∴PC=2M'C,
由图①及BE=0.4km,OB=0.5km可知,sin∠BOA=,cos∠BOA=,
∴,,
∴,
∴,
∴在Rt△M'GC中,由勾股定理得:,
∴PC=km,
∴AN、MN、CM和的最小值为:(+0.5)km,
∴投入资金的最小值为:10×(+0.5)=(+5)(万元).
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【题目】如图1,已知直线PQ∥MN,点A、B分别在直线MN、PQ上,射线AM绕点A以5°/秒的速度按顺时针开始旋转,旋转至与AN(或AM)重合后便立即回转,射线BQ绕点B以2°/秒的速度按顺时针开始旋转,旋转至与BP重合后便停止转动,旋转后的射线分别记为AM'和BQ'.
(1)若射线BQ先转动30秒,射线AM才开始转动,在射线AM第一次到达AN之前,射线AM转动几秒后AM'∥BQ';
(2)若射线AM,BQ同时转动t秒,在射线BQ停止转动之前,记射线AM'与BQ'交于点H,若∠AHB=90°,求t的值;
(3)射线AM,BQ同时转动,在射线AM第一次到达AN之前,记射线AM'与BQ'交于点K,过K作KC⊥AK交PQ于点C,如图2,若∠BAN=30°,则在旋转过程中,∠BAK与∠BKC有何数量关系?并说明理由.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx﹣8(a≠0)的对称轴是直线x=1,
(1)求证:2a+b=0;
(2)若关于x的方程ax2+bx﹣8=0,有一个根为4,求方程的另一个根.
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【题目】如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(﹣3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是( )
A.(2,﹣3)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(3,﹣2)
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【题目】某电器超市销售每台进价分别为200元,170元的A,B两种型号的电风扇,表中是近两周的销售情况:
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
A种型号 | B种型号 | ||
第一周 | 3台 | 5台 | 1800元 |
第二周 | 4台 | 10台 | 3100元 |
(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本)
(1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价.
(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台,则A种型号的电风扇最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
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【题目】聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工,聪聪负责找值为0时的值,明明负责找值为4时的值,伶伶负责找最小值,俐俐负责找最大值,几分钟,各自通报探究的结论,其中正确的是( )
(1)聪聪认为找不到实数,使的值为0;
(2)明明认为只有当时,的值为4;
(3)伶伶发现有最小值;(4)俐俐发现有最大值
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(1)(2)(4)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动;同时,点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动.
(1)几秒后△PCQ的面积为3cm2?此时PQ的长是多少?(结果用最简二次根式表示)
(2)几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2?
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【题目】如图,正方形ABCD中,AD=4,点E是对角线AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥ED,交AB于点F,连接DF,交AC于点G,将△EFG沿EF翻折,得到△EFM,连接DM,交EF于点N,若点F是AB的中点,则△EMN的周长是 .
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【题目】如图,已知AB∥ED,设∠A+∠E=α,∠B+∠C+∠D=β,则( )
A. α-β=0B. 2α-β=0C. α-2β=0D. 3α-2β=0
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