Question

11．如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）设抛物线的顶点为D，试在线段AC上找出这样的点P，使△PBD是等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，得出A点坐标为（4，0），进而得出AO的长，即可得出BC=AO，求出C点坐标即可；然后根据O，A，C三点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）首先求出AC所在解析式，进而得出符合条件的等腰△PBD顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，求出即可．

解答 解：（1）∵点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，
∴A点坐标为（4，0），
∵四边形OACB是平行四边形，
∴BC=AO，
∴C点坐标为：（6，3），
设所求的抛物线为y=ax²+bx+c，则依题意，得
  $\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{36a+6b+c=3}\end{array}\right.$，
 解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴所求的抛物线函数关系式为：y=$\frac{1}{4}$x²-x．

（2）设线段AC所在的直线的函数关系式为y=kx+n根据题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+n=0}\\{6k+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{n=-6}\end{array}\right.$．
∴直线AC的函数关系式为：y=$\frac{3}{2}$x-6．
∵y=$\frac{1}{4}$x²-x=$\frac{1}{4}$（x²-4x）=$\frac{1}{4}$（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标D（2，-1），
使△PBD是等腰三角形时，
①当BD是底边时，顶点P在线段BD的垂直平分线与线段AC的交点上，
而BD=4，所以P点的纵坐标为1，把y=1代入y=$\frac{3}{2}$x-6中，得x=$\frac{14}{3}$
∴点P的坐标为（$\frac{14}{3}$，1）；
②当BD时腰时，
∵BD=3+1=4，BC=OA=4，BA=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$＜4，
∴当P与C重合时△PBD是等腰三角形，
∴P（6，3）；
DB=DP时，设P（m，$\frac{3}{2}$m-6），
则有（m-2）²+（$\frac{3}{2}$m-6+1）²=4²，
解得m=$\frac{38+16\sqrt{3}}{13}$或$\frac{38-16\sqrt{3}}{13}$（舍弃），
∴P（$\frac{38+16\sqrt{3}}{13}$，$\frac{24\sqrt{3}-23}{13}$），
故P的坐标为（$\frac{14}{3}$，1）或（6，3）或（$\frac{38+16\sqrt{3}}{13}$，$\frac{24\sqrt{3}-23}{13}$），

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用平行四边形的面积以及相似三角形的性质得出是解题关键．