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【题目】在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,AE与BF相交于点G.

(1)如图1,求证:AE⊥BF;

(2)如图2,将△BCF沿BF折叠,得到△BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,若AB=4,求QF的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)QF=5.

【解析】试题分析:(1)首先证明△ABE≌△BCF,再利用角的关系求得∠BGE=90°,即可证明AE⊥BF;(2)由△BCF沿BF对折,得到△BPF可得FP=FC,∠PFB=∠BFC,∠FPB=90,在利用角的关系求出QF=QB,设设QF=x,在Rt△BPQ中,利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可.

试题解析:(1EF分别是正方形ABCDBCCD的中点,

CF=BE

ABEBCF中,

RtABERtBCFSAS),

∴∠BAE=CBF

又∵∠BAE+BEA=90°

∴∠CBF+BEA=90°

∴∠BGE=90°

AEBF

2∵将BCF沿BF折叠,得到BPF

FP=FCPFB=BFCFPB=90°

CDAB

∴∠CFB=ABF

∴∠ABF=PFB

QF=QB

QF=xPB=BC=AB=4CF=PF=2

QB=xPQ=x﹣2

RtBPQ中,∴x2=x﹣22+42

解得:x=5

QF=5

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