Question

5．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径，AE⊥BC于E
（1）已知∠ABC=∠DAC，AD=4，求AC的长．
（2）已知AC=6，AE=4，⊙O的半径为5，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质计算即可；
（2）连接BD，证明△ADB∽△ACE，根据相似三角形的性质得到比例式，代入数据进行计算即可．

解答 解：（1）连接CD，
∵∠ABC=∠DAC，又∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CA=CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，又CA=CD，
∴AC=CD=2$\sqrt{2}$；
（2）连接BD，
∵AD是直径，
∴∠ABD=90°，又AE⊥BC，
∴∠ABD=∠AEC，又∠ACB=∠ADB，
∴△ADB∽△ACE，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AB}{AE}$，
∴AB=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理的应用、相似三角形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角等于90°、同弧所对的圆周角相等是解题的关键．