Question

【题目】如图，抛物线y=ax2-4n+4经过点P（2,4），与x轴交于A、B两点，过点P作直线l∥x轴，点C为第二象限内直线l上方，抛物线上一个动点，其横坐标为m。

（1）如图（1），若AB=6, 求抛物线解析式

（2）如图（2），在（1）的条件下，设点C的横坐标为t,ACP的面积S，求S与t之间的函数关系式.

（3）如图（3），连接OP，过点C作EC∥OP交抛物线于点E，直线PE、CP分别交x轴于点G、H，当PG=PH时，求a的值。

Answer 1

【答案】(1)y=-x+ ；(2)S=；(3)a=-

【解析】

（1）根据题意可得A（－3，0），然后将点A、P的坐标代入抛物线解析式求出a和n即可；

（2）首先求出直线AP的解析式，然后过点C作y轴的平行线交直线AP于点M，根据点C的横坐标为t可表示出C、M的坐标，求出CM的长，再利用三角形面积公式计算即可；

（3）根据PG=PH可得∠PGH=∠PHG，设直线PG解析式为：y-4=k(x-2)，则直线PH解析式为：y-4=-k(x-2)，分别联立直线解析式和抛物线解析式求出E（，），C（，），然后根据EC∥OP列方程求解即可.

解：（1）∵抛物线对称轴为x=0，AB=6，

∴A（－3，0），B（3，0），

将A（－3，0），P（2，4）代入y=ax2-4n+4得：，

解得：，

∴抛物线解析式为：；

（2）设直线AP的解析式为：y=kx+b(k≠0)，

将A（－3，0），P（2，4）代入得：，

解得：，

∴直线AP的解析式为：，

如图，过点C作y轴的平行线交直线AP于点M，则C（t，），M（t，），

∴，

∴；

（3）将点P（2,4）代入抛物线y=ax2-4n+4得：4=4a-4n+4，

∴n=a，即抛物线解析式为：y=ax2-4a+4，

∵PG=PH，

∴∠PGH=∠PHG，

设直线PG解析式为：y-4=k(x-2)，则直线PH解析式为：y-4=-k(x-2)，

联立，解得：或（舍去），

∴E点坐标为：（，），

同理，联立直线PH解析式和抛物线解析式可得：C（，），

易得直线OP解析式为：y=2x，

∵EC∥OP，

∴，

解得：.