Question

4．已知如图，直线${l_1}：{y_1}=-\frac{3}{4}x+m$与y轴交于A（0，6），直线l₂：y₂=kx+1分别与x轴交于点B（-2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．求：
（1）直线l₁、l₂的解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得${S_{△ABP}}=\frac{4}{3}{S_{△ABD}}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（0，6）代入l₁解析式中，求出m的值；把点B（-2，0）代入直线l₂，求出k的值即可；
（2）首先求出点C的坐标，然后求出点D坐标，进而根据S_△ABD=S_△ACB+S_△ACB求出答案；
（3）分点P在点B的左边和右边两种情况进行讨论，利用三角形面积公式求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵直线${l_1}：{y_1}=-\frac{3}{4}x+m$与y轴交于A（0，6），
∴m=6，
∴y₁=-$\frac{3}{4}$x+6，
∵y₂=kx+1分别与x轴交于点B（-2，0），
∴-2k+1=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴y₂=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）令y₂=$\frac{1}{2}$x+1中x=0，求出y=1，
∴点C坐标为（0，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+6}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得x=4，y=3，
∴点D的坐标为（4，3），
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•BO=$\frac{1}{2}$×（6-1）×2=5，
S_△ACD=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
∴S_△ABD=S_△ACB+S_△ACB=5+10=15；
（3）设点P坐标为（m，0），
当点P在B点的右侧时，
BP=m+2，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AO=$\frac{1}{2}$×（m+2）×6=$\frac{4}{3}$×15，
解得m=$\frac{14}{3}$，
则点P坐标为（$\frac{14}{3}$，0），
当点P在B点的左侧时，
BP=-2-m，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP•AO=$\frac{1}{2}$×（-2-m）×6=$\frac{4}{3}$×15，
解得m=-$\frac{26}{3}$，
则点P坐标为（-$\frac{26}{3}$，0），
综上点P的坐标为（$\frac{14}{3}$，0）或（-$\frac{26}{3}$，0）．

点评 本题主要考查了一次函数综合题的知识，此题涉及到求一次函数解析式、两直线交点问题，三角形的面积等知识，解答本题（2）关键是求出D点坐标，解答（3）问关键是进行分类讨论，此题难度一般．