Question

16．如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2），过点C且平行于x轴的直线交抛物线于点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）连结AD交y轴于点F，直线PF交x轴于点G，在直线CD上方的抛物线上是否存在点P，使△PFD的面积是△AFG的面积的15倍？若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）根据“△PFD的面积是△AFG的面积的15倍”进行解答．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）当y=2时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍去），
即点D坐标为（3，2）．
∵A，E两点都在x轴上，∴AE有两种可能：
①如图1，当AE为一边时，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②如图2，当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P点的坐标为（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）
综上所述：P₁（0，2）；P₂（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）；P₃（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）．

（3）存在点P（1，3）或（2，3）符合题意．

点评 此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积计算，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．