Question

19．E，F是△ABC的边AB所在直线上的点，AE=BF，FH∥EG∥AC，FH，EG分别交BC所在的直线于H，G．
（1）如图1，若E，F在线段AB上，求证：EG+FH=AC；
（2）若E在线段BA的延长线上，F在线段AB的延长线上，试猜想线段EG，FH，AC之间的数量关系，请在图2中画出图形并证明．

Answer 1

分析 （1）首先根据FH∥EG∥AC，可得△BFH∽△BEG∽△BAC，所以$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，据此判断出$\frac{BF+BE}{FH+EG}=\frac{BA}{AC}$；然后根据AE=BF，判断出EG+FH=AC即可．
（2）猜想线段EG，FH，AC之间的数量关系为：FH+AC=EG．首先根据FH∥EG∥AC，可得△BFH∽△BEG∽△BAC，所以$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，据此判断出$\frac{BF+BA}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$；然后根据AE=BF，判断出FH+AC=EG即可．

解答 （1）证明：如图1，
，
∵FH∥EG∥AC，
∴△BFH∽△BEG∽△BAC，
∴$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，
∴$\frac{BF+BE}{FH+EG}=\frac{BA}{AC}$，
又∵AE=BF，
∴$\frac{AE+BE}{EG+FH}=\frac{AB}{AC}$，
又∵AE+BE=AB，
∴$\frac{AB}{EG+FH}=\frac{AB}{AC}$，
∴EG+FH=AC．

（2）猜想线段EG，FH，AC之间的数量关系为：FH+AC=EG．
证明：如图2，过点A作AP∥BC交EG于P，

∵FH∥EG∥AC，
∴△BFH∽△BEG∽△BAC，
∴$\frac{BF}{FH}=\frac{BE}{EG}=\frac{BA}{AC}$，
∴$\frac{BF+BA}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$，
又∵AE=BF，
∴$\frac{AE+AB}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$，
又∵AE+AB=BE，
∴$\frac{BE}{FH+AC}=\frac{BE}{EG}$，
∴FH+AC=EG．

点评 此题主要考查了平行线分线段成比例问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．