Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠BAC，交BC于点O．以O为圆心，OC为半径作⊙O，分别交AO，BC于点E，F．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）延长AO交⊙O于点D，连接CD，若AD＝2AC，求tanD的值；

（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠D＝；（3）．

【解析】

（1）根据题意过点O作OM⊥AB，由角平分线到性质可得OC=OM，即可证AB是⊙O的切线；

（2）由题意证明△ACE∽△ADC，可得，以此进行分析即可得出结论．

（3）根据题意由相似三角形的性质可得，即可求AD=8，AC=4=AM，通过证明△OBM∽△ABC，可得，可得关于OB，BM的方程组，即可求BM的长，即可求AB和BC的长．

证明：（1）如图，过点O作OM⊥AB，

∵AO平分∠BAC，OM⊥AB，∠ACB＝90°，

∴OC＝OM，

∴OM为⊙O半径，且OM⊥AB，

∴AB是⊙O切线．

（2）解：∵DE是⊙O的直径，

∴∠DCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCE＝∠ACB，

∴∠DCO＝∠ACE，

∵OC＝OD，

∴∠D＝∠DCO，

∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵AD＝2AC，

∴tan∠D＝；

（3）∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2＝AD（AD﹣6），且2AC＝AD，

∴AD＝8，

∴AC＝4，

∵AO＝AO，OC＝OM，

∴Rt△AOM≌Rt△AOC（HL），

∴AM＝AC＝4，

∵∠B＝∠B，∠OMB＝∠ACB＝90°

∴△OBM∽△ABC，

∴，

∴，

∴，

∴BM＝，

∴AB＝4+＝，

∴BC＝＝＝．