Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于点A，B，点C是反比例函数y＝的图象在第一象限内一动点．过点C作直线CD⊥AB．交x轴于点D，交AB于点E．则CE：DE的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

连接AC，根据题意得到A、B的坐标，以及△ADE∽△ABO，即可求得＝＝，进一步求得＝＝2tan∠CAE，当∠CAE最小，即AC与双曲线（x＞0）只有一个交点时，最小，设AC的解析式为y＝kx﹣4k，则，消去y整理得到kx2﹣4kx﹣4＝0，当AC与双曲线（x＞0）只有一个交点时，△＝16k2+16k＝0，解得k的值，即可求得AC的解析式，进而求得C，D、E的坐标，然后根据平行线分线段成比例求得CE：DE的最小值为．

解：如图，连接AC，

∵直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于点A，B，

∴A(4，0)，B(0，2)，

∵CD⊥AB，

∴∠AED＝∠AOB＝90°，

∵∠DAE＝∠BAO，

∴△ADE∽△ABO，

∴＝＝，

∴＝＝2tan∠CAE，

∴当∠CAE最小，即AC与双曲线（x＞0）只有一个交点时，最小，

设AC的解析式为y＝kx﹣4k，则，消去y整理得：kx2﹣4kx﹣4＝0，

当AC与双曲线（x＞0）只有一个交点时，△＝16k2+16k＝0，解得k＝﹣1或k＝0（舍去），

∴AC的解析式为y＝﹣x+4，

解得，

∴C(2，2)，

设CD的解析式为y＝2x+n，则2＝4+n，

解得n＝﹣2，

∴CD的解析式为y＝2x﹣2，

∴D(1，0)，

解得，

∴E（，），

过E点作MN⊥x轴于N，交过C点与x轴平行的直线于M，

∴MC∥DN，

∴＝＝＝，

故答案为．