【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)交x轴于A,B两点(A在B的左侧),交y轴于点C,抛物线的顶点为P,过点B作BC的垂线交抛物线于点D.
(1)若点P的坐标为(-4,-1),点C的坐标为(0,3),求抛物线的表达式;
(2)在(1)的条件下,求点A到直线BD的距离;
(3)连接DC,若点P的坐标为(-,-),DC∥x轴,则在x轴上方的抛物线上是否存在点M,使∠AMB=∠BDC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x 2+2x+3;(2)点A到直线BD的距离为;(3)存在,M1(,4),M2(,4)
【解析】
(1)利用待定系数法将C(0,3)代入即可解决问题;
(2)先求出A、B、C三点坐标。继而求出AB、BC线段长,再作AF⊥BD于F,可得∠ABF=∠BCO,根据sin∠ABF=sin∠BCO即可求解;
(3)作DH⊥x轴于H,设A(x1,0),B(x2,0),由△DBH∽△BCO可得= ,联系根与系数关系可得c 2=x1x2,c= ,继而又待定系数法求出解析式为y= x 2+ x+2,可得ABC三点坐标,再由经过A,B,M三点的圆的圆心为Q,求出Q坐标,继而又
QM=QA即可求解.
解:(1)设抛物线的解析式为y=a( x+4 )2-1,
把C(0,3)代入,得3=a( 0+4 )2-1,a= ,
∴抛物线的解析式为y= ( x+4 )2-1,即y=x 2+2x+3,
(2)令 x 2+2x+3=0,解得x1=-2,x2=-6,
∴A(-6,0),B(-2,0),
∴OA=6,OB=2,AB=4,
令x=0,得y=3,∴C(0,3),
∴OC=3,
∴BC===,
作AF⊥BD于F,
∵DB⊥BC,∴∠DBC=90°,∴∠ABF+∠CBO=90°
∵∠BCO+∠CBO=90°,
∴∠ABF=∠BCO
∴=sin∠ABF=sin∠BCO= =
∴AF= AB==,即点A到直线BD的距离为.
(3)作DH⊥x轴于H
设A(x1,0),B(x2,0)
由抛物线的对称性可知AH=BO
∴BH=OH-OB=OH-AH=OA=-x1
∵DC∥x轴,∴DH=CO=c
∵DB⊥BC,∴△DBH∽△BCO
∴= ,∴= ,∴c 2=x1x2
令ax 2+bx+c=0,则x1x2=,∴c 2= ,∴c=
由P(- ,-),可设抛物线的解析式为y=a( x+ )2-
令x=0,得c= a-,
∴a-,
解得a=-(舍去)或a=
∴抛物线的解析式为y= ( x+ )2-,即y= x 2+ x+2
易得A(-4,0),B(-1,0),C(0,2)
AB=3,OB=1,OC=2
设经过A,B,M三点的圆的圆心为Q,连接QA,QB,QM
作QN⊥AB于N
则AN=BN= ,QA=QB=QM,∠AQN=∠AMB=∠BDC
∵DC∥x轴,∴∠BDC=∠ABD=∠BCO
∴∠AQN=∠BCO,
∴=tan∠AQN=tan∠BCO= =
∴QN=2AN=AB=3,∴Q(- ,3),QA 2=
设M(m,y),其中y= m 2+ m+2
则QM 2=( m+ )2+( y-3 )2
∴( m+ )2+( y-3 )2=
m 2+5m+4+y 2-6y=0,2y+y 2-6y=0
y 2-4y=0,解得y=0(舍去)或y=4
令 x 2+ x+2=4,解得x=
∴M1(,4),M2(,4)
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【题目】如图,直线y=﹣x+2分别与x轴,y轴交于点A,B,点C是反比例函数y=的图象在第一象限内一动点.过点C作直线CD⊥AB.交x轴于点D,交AB于点E.则CE:DE的最小值为_____.
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【题目】中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
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【题目】已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx 2 +2mx-4(m≠0)的图象与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点D的坐标为(-2,1),点P在二次函数的图象上,∠ADP为锐角,且tan∠ADP=2,求出点P的横坐标;
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【题目】定义:每个内角都相等的八边形叫做等角八边形.容易知道,等角八边形的内角都等于135°.下面,我们来研究它的一些性质与判定:
(1)如图1,等角八边形ABCDEFGH中,连结BF.
①请直接写出∠ABF+∠GFB的度数.
②求证:AB∥EF.
③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边.由②同理可得:BC与FG,CD与GH,DE与HA这三组正对边也分别平行.请模仿平行四边形性质的学习经验,用一句话概括等角八边形的这一性质.
(2)如图2,等角八边形ABCDEFGH中,如果有AB=EF,BC=FG,则其余两组正对边CD与GH,DE与HA分别相等吗?证明你的结论.
(3)如图3,八边形ABCDEFGH中,若四组正对边分别平行,则显然有∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.请探究:该八边形至少需要已知几个内角为135°,才能保证它一定是等角八边形?
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【题目】如图,抛物线y1=a(x﹣1)2+4与x轴交于A(﹣1,0).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A,C两点,过点C作CB垂直于x轴于点B,求△ABC的面积.
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【题目】“停课不停学,学习不延期”,某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”,为了解学生每天的学习时间情况,在全市随机抽取了部分初中学生进行问卷调查,现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表,请根据图表中的信息解答下列问题:
组别 | 学习时间x(h) | 人数(人) |
A | 2.5<x≤3 | 40 |
B | 3<x≤3.5 | 170 |
C | 3.5<x≤4 | 350 |
D | 4<x≤4.5 | |
E | 4.5<x≤5 | 90 |
F | 5小时以上 | 50 |
表1
(1)这次参与问卷调查的初中学生有 人,中位数落在 组.
(2)图3中D组对应的角度是 ,并补全图2 条形统计图.
(3)若某市有初中学生2.8万人,请估计每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时(不包括3.5小时)的初中学生有多少人?
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