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【题目】如图,抛物线yax2bxca0)交x轴于AB两点(AB的左侧),交y轴于点C,抛物线的顶点为P,过点BBC的垂线交抛物线于点D

1)若点P的坐标为(-4,-1),点C的坐标为(03),求抛物线的表达式;

2)在(1)的条件下,求点A到直线BD的距离;

3)连接DC,若点P的坐标为(-,-),DCx轴,则在x轴上方的抛物线上是否存在点M,使∠AMB=∠BDC?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx 22x3;(2)点A到直线BD的距离为;(3)存在,M14),M24

【解析】

1)利用待定系数法将C03)代入即可解决问题;

2)先求出ABC三点坐标。继而求出ABBC线段长,再作AFBDF,可得ABFBCO,根据sin∠ABFsin∠BCO即可求解;

3)作DHx轴于H,设Ax10),Bx20),由DBH∽△BCO可得 ,联系根与系数关系可得c 2x1x2c ,继而又待定系数法求出解析式为y x 2 x2,可得ABC三点坐标,再由经过ABM三点的圆的圆心为Q,求出Q坐标,继而又

QM=QA即可求解.

解:(1)设抛物线的解析式为ya( x4 )21

C03)代入,得3a( 04 )21a

抛物线的解析式为y ( x4 )21,即yx 22x3

2)令 x 22x30,解得x1=-2x2=-6

A(-60),B(-20),

OA6OB2AB4

x0,得y3C03),

OC3

BC

AFBDF

DBBC∴∠DBC90°∴∠ABFCBO90°

∵∠BCOCBO90°

∴∠ABFBCO

sin∠ABFsin∠BCO

AF AB,即点A到直线BD的距离为

3)作DHx轴于H

Ax10),Bx20

由抛物线的对称性可知AHBO

BHOHOBOHAHOA=-x1

DCx轴,DHCOc

DBBC∴△DBH∽△BCO

c 2x1x2

ax 2bxc0,则x1x2c 2 c

P(- ,-),可设抛物线的解析式为ya( x )2

x0,得c a

a

解得a=-(舍去)或a

抛物线的解析式为y ( x )2,即y x 2 x2

易得A(-40),B(-10),C02

AB3OB1OC2

设经过ABM三点的圆的圆心为Q,连接QAQBQM

QNABN

ANBN QAQBQMAQNAMBBDC

DCx轴,∴∠BDCABDBCO

∴∠AQNBCO

tan∠AQNtan∠BCO

QN2ANAB3Q(- 3),QA 2

Mmy),其中y m 2 m2

QM 2( m )2( y3 )2

∴( m )2( y3 )2

m 25m4y 26y02yy 26y0

y 24y0,解得y0(舍去)或y4

x 2 x24,解得x

M14),M24

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成绩x/

频数

频率

50x60

10

0.05

 60x70

30

0.15

 70x80

40

n

 80x90

m

0.35

 90x100

50

0.25

请根据所给信息,解答下列问题:

(1)m   n   

(2)请补全频数分布直方图;

(3)若成绩在90分以上(包括90)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?

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①请直接写出∠ABF+∠GFB的度数.

②求证:ABEF

③我们把ABEF称为八边形的一组正对边.由②同理可得:BCFGCDGHDEHA这三组正对边也分别平行.请模仿平行四边形性质的学习经验,用一句话概括等角八边形的这一性质.

2)如图2,等角八边形ABCDEFGH中,如果有ABEFBCFG,则其余两组正对边CDGHDEHA分别相等吗?证明你的结论.

3)如图3,八边形ABCDEFGH中,若四组正对边分别平行,则显然有∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.请探究:该八边形至少需要已知几个内角为135°,才能保证它一定是等角八边形?

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组别

学习时间xh

人数(人)

A

2.5x≤3

40

B

3x≤3.5

170

C

3.5x≤4

350

D

4x≤4.5

E

4.5x≤5

90

F

5小时以上

50

1

1)这次参与问卷调查的初中学生有 人,中位数落在 组.

2)图3D组对应的角度是    ,并补全图2 条形统计图.

3)若某市有初中学生2.8万人,请估计每天参与空中课堂学习时间3.54.5小时(不包括3.5小时)的初中学生有多少人?

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