Question

【题目】定义：每个内角都相等的八边形叫做等角八边形．容易知道，等角八边形的内角都等于135°．下面，我们来研究它的一些性质与判定：

（1）如图1，等角八边形ABCDEFGH中，连结BF．

①请直接写出∠ABF＋∠GFB的度数．

②求证：AB∥EF．

③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边．由②同理可得：BC与FG，CD与GH，DE与HA这三组正对边也分别平行．请模仿平行四边形性质的学习经验，用一句话概括等角八边形的这一性质．

（2）如图2，等角八边形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，则其余两组正对边CD与GH，DE与HA分别相等吗？证明你的结论．

（3）如图3，八边形ABCDEFGH中，若四组正对边分别平行，则显然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．请探究：该八边形至少需要已知几个内角为135°，才能保证它一定是等角八边形？

Answer 1

【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②详见解析；③等角八边形的每一组正对边平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，详见解析；（3）结论：至少需要已知5个内角为135°

【解析】

（1）①由等角八边形的概念可得它的每个内角均为135°，五边形BAHGF的内角和为540°，减去（∠A+∠H+∠G），即可求得结论；

②根据“内错角相等，两直线平行”即可证明；

③根据题目提供的信息，总结出结论即可；

（2）分别证明四边形ABEF是平行四边形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到结论；

（3）若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，若5个内角等于135°，其余各角的度数也是135°.

（1）①五边形BAHGF的内角和为（5-2）×180°=540°

∵∠A=∠H=∠G=

∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135°

即∠ABF＋∠GFB＝135°．

②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°，

∴∠1＝∠3，

∴AB∥EF．

③等角八边形的每一组正对边平行．

（2）如图2，连结AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF，

∵AB＝EF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴AF＝BE，AF∥BE，

又∵BC∥FG，

∴∠AFG＝∠EBC，

又∵BC＝FG，

∴△AFG≌△EBC，

∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB，

∵∠HGF＝∠BCD＝135°，

∴∠AGH＝∠ECD，

又∵∠H＝∠D＝135°，

∴△AGH≌△ECD，

∴CD＝GH，DE＝HA．

（3）结论：至少需要已知5个内角为135°．

①若4个内角等于135°，则每个内角不一定都为135°，

如图4，八边形ABCMNFPH不是等角八边形；

②若5个内角等于135°：

∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．

∴这八个角中，不论已知哪5个角是135°，都可以推导出其余的内角也是135°．