【题目】如图,E、F两点分别在平行四边形ABCD的边CD、AD上,AE=CF,AE、CF相交于点O.
(1)用尺规作出∠AOC的角平分线OM(保留作图痕迹,不写作法);
(2)求证:OM一定经过B点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)用尺规作出∠AOC的角平分线OM即可;
(2)根据同底等高的三角形和平行四边形面积的关系可以证明S△ABE=S△BCF,作BG⊥OC于点G,BH⊥OA于点H,再根据角平分线的判定定理即可证明OM一定经过B点.
解:(1)如图,OM即为所求;
(2)如图,连接BE、BF,
∵△ABE以AB为底,高是平行四边形AB边的高,
∴S△ABE=S平行四边形ABCD,
同理S△BCF=S平行四边形ABCD,
∴S△ABE=S△BCF,
作BG⊥OC于点G,BH⊥OA于点H,
∴S△ABE=AEBH,
S△BCF=CFBG,
∵S△ABE=S△BCF,AE=CF,
∴BH=BG,
∵BG⊥OC,BH⊥OA,
∴点B在∠AOC的平分线上,
即OM一定经过B点.
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【题目】中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
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【题目】定义:每个内角都相等的八边形叫做等角八边形.容易知道,等角八边形的内角都等于135°.下面,我们来研究它的一些性质与判定:
(1)如图1,等角八边形ABCDEFGH中,连结BF.
①请直接写出∠ABF+∠GFB的度数.
②求证:AB∥EF.
③我们把AB与EF称为八边形的一组正对边.由②同理可得:BC与FG,CD与GH,DE与HA这三组正对边也分别平行.请模仿平行四边形性质的学习经验,用一句话概括等角八边形的这一性质.
(2)如图2,等角八边形ABCDEFGH中,如果有AB=EF,BC=FG,则其余两组正对边CD与GH,DE与HA分别相等吗?证明你的结论.
(3)如图3,八边形ABCDEFGH中,若四组正对边分别平行,则显然有∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠G,∠D=∠H.请探究:该八边形至少需要已知几个内角为135°,才能保证它一定是等角八边形?
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【题目】如图,抛物线y1=a(x﹣1)2+4与x轴交于A(﹣1,0).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A,C两点,过点C作CB垂直于x轴于点B,求△ABC的面积.
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【题目】如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图像上,点B在反比例函数y=(x>0)的图像上,AB∥x轴,BC⊥x轴,垂足为C,连接AC,若△ABC的面积是6,则k的值为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
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【题目】如图,在平面直角坐标系内,抛物线与x轴交于点A,C(点A在点C的左侧),与y轴交于点B,顶点为D.点Q为线段BC的三等分点(靠近点C).
(1)点M为抛物线对称轴上一点,点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限,当的周长最小时,求面积的最大值;
(2)在(1)的条件下,当的面积最大时,过点E作轴,垂足为N,将线段CN绕点C顺时针旋转90°得到点N,再将点N向上平移个单位长度.得到点P,点G在抛物线的对称轴上,请问在平面直角坐标系内是否存在一点H,使点D,P,G,H构成菱形.若存在,请直接写出点H的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】“停课不停学,学习不延期”,某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”,为了解学生每天的学习时间情况,在全市随机抽取了部分初中学生进行问卷调查,现将调查结果绘制成如下不完整的统计图表,请根据图表中的信息解答下列问题:
组别 | 学习时间x(h) | 人数(人) |
A | 2.5<x≤3 | 40 |
B | 3<x≤3.5 | 170 |
C | 3.5<x≤4 | 350 |
D | 4<x≤4.5 | |
E | 4.5<x≤5 | 90 |
F | 5小时以上 | 50 |
表1
(1)这次参与问卷调查的初中学生有 人,中位数落在 组.
(2)图3中D组对应的角度是 ,并补全图2 条形统计图.
(3)若某市有初中学生2.8万人,请估计每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时(不包括3.5小时)的初中学生有多少人?
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC中点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)证明:;
(3)若BC=8,tan∠AFP=,求DE的长.
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