Question

【题目】如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax（x﹣2）+1+的顶点为P．

（1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；

（2）连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值．

（3）如图②，若抛物线开口向上，点C，D分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE．

①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值；

②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A(2，2)，1；（2）﹣1或；（3）①；②y＝（x﹣1）2+

【解析】

（1）由等边三角形的性质可求点A坐标，由抛物线的性质可求对称轴；

（2）分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求点P坐标，代入解析式可求a的值；

（3）①连接AG并延长AG交OB于H，由等边三角形外心的性质可求GH的长，由平行四边形的性质可得GD∥OB，GD＝OQ，由平行线分线段成比例可求GD的长，由勾股定理可求解；

②在OB上截取OM＝BD，连接CM，GM，GB，MD，GD，通过证明△GDE∽△MDC，可得＝，则当GE最小值为1时，MC最小值为，可得当点C与抛物线顶点P重合，且CM⊥OB时，CM有最小值，即可求点P坐标，代入解析式可求解．

解：（1）如图，连接AG并延长AG交OB于H，

∵点B坐标为（4，0），

∴OB＝4，

∵点G是等边三角形AOB的外心，

∴AH⊥OB，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，

∴∠OAH＝30°，

∴OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，

∴点A（2，2），

∵抛物线y＝ax（x﹣2）+1+＝ax2﹣2ax+1+，

∴对称轴为：直线x＝﹣＝1；

（2）如图，过点P作PN⊥OB于N，交AO于F，

∴ON＝1，

∵点G是等边三角形AOB的外心，

∴OG平分∠AOB，

∴∠AOG＝30°＝∠BOG，

当点P在△AOB内，

∵∠AOG＝2∠AOP，

∴∠AOP＝15°＝∠POG，

∴∠PON＝45°，

∵PN⊥OB，

∴∠PON＝∠OPN＝45°，

∴PN＝ON＝1，

∴点P坐标（1，1），

∴1＝a（1﹣2）+1+，

∴a＝，

当点P在△AOB外，

同理可得∠AOP'＝15°，

∴∠P'ON＝75°，

∴∠OP'N＝15°＝∠AOP'，

∴OF＝P'F，

∵∠AOB＝60°，P'N⊥OB，

∴OF＝2ON＝2＝P'F，FN＝ON＝，

∴P'N＝P'F+FN＝2+，

∴点P坐标为（1，2+），

∴2+＝a（1﹣2）+1+，

∴a＝﹣1，

综上所述：a＝﹣1或；

（3）如图，连接AG并延长AG交OB于H，

∵点G是等边三角形AOB的外心，

∴AG＝2GH，OH＝BH＝2，AH＝2，

∴GH＝，

∵四边形GDQO为平行四边形，

∴GD∥OB，GD＝OQ，

∴，

∴GD＝，

∴QH＝，

∴GQ＝＝＝；

②如图，在OB上截取OM＝BD，连接CM，GM，GB，MD，GD，

∵点G是等边三角形AOB的外心，

∴OG＝GB，∠GOB＝∠GBO＝∠ABG＝30°，

又∵OM＝BD，

∴△OGM≌△BGD（SAS），

∴MG＝GD，∠OGM＝∠BGD，

∴∠OGB＝∠MGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴MD＝GD，∠GDM＝30°，

∵△CDE中CE＝DE，∠CED＝120°，

∴CD＝DE，∠CDE＝30°，

∴∠MDC＝∠GDE，，

∴△GDE∽△MDC，

∴＝，

当GE最小值为1时，MC最小值为，

∴当点C与抛物线顶点P重合，且CM⊥OB时，CM有最小值，

∴CM的最小值为顶点P的纵坐标，

∴点P坐标（1，），

∴＝a（1﹣2）+1+，

∴a＝1，

∴抛物线的解析式为：y＝x（x﹣2）+1+＝（x﹣1）2+．

【点题】

考查了二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质和垂线段最短等知识，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形．