Question

12．将两块全等的含30°角的三角尺如图①摆放在一起，设较短的直角边长为3．
（1）四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由．
（2）如图②，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B₁C₁D₁的位置，四边形ABC₁D₁是平行四边形吗？说出你的结论和理由．
（3）在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为多少时四边形ABC₁D₁为矩形？

Answer 1

分析 （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）同（2）可证四边形ABC₁D₁是平行四边形，在此基础上，只要∠ABC₁=90°，四边形ABC₁D₁就是矩形，即∠B₁BC₁=60°，然后利用勾股定理列方程计算．

解答 解：（1）是．如图①，

∵△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）是．如图②，

∵∠ABD=∠C₁D₁B₁=30°
∴AB∥C₁D₁，
又∵AB=C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形；
（3）如图③，

由（2）知四边形ABC₁D₁是平行四边形
∴只要使∠ABC₁=90°，四边形ABC₁D₁即为矩形
∴∠B₁BC₁=60°∴∠BC₁B₁=30°
设BB₁=x，则 BC₁=2x，
由勾股定理得：$B{C_1}^2-B{B_1}^2={B_1}{C_1}^2$，
即 （2x）²-x²=3²
解得：$x=\sqrt{3}$，
∴当点B的移动距离为$\sqrt{3}$时四边形ABC₁D₁为矩形．

点评 本题考查了平移变换、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，难度适中．熟练掌握全等三角形、平行四边形、矩形的判定定理及性质定理是关键．