Question

18．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（-4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．
（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；
（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；
（3）设P（x₁，a），Q（x₂，b）（x₂＞x₁＞0），M（m，y₁），N（n，y₂）是双曲线y=$\frac{k}{x}$上的四点，m=$\sqrt{\frac{a+b}{2k}}$，n=$\sqrt{\frac{2}{{{x_1}+{x_2}}}}$，试判断y₁，y₂的大小，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO，可证得△AOF为等边三角形，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）设G（x，0），由A、C的坐标可分别表示出AG、CG和AC的长，分AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得G点坐标；
（3）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可用x₁、x₂分别表示出a、b，则可比较m、n的大小关系，利用反比例函数的性质可求得y₁，y₂的大小．

解答 解：
（1）由旋转的性质可得AO=AF=DE=BC，∠BAO=∠OAF，
∵AB∥BC，
∴∠BAO=∠AOF，
∴∠AOF=∠OAF，
∴AF=OF，
∴AF=OF=OA，
∴△AOF为等边三角形，
∵点A，D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴A、D关于原点对称，
∴AO=OD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$OC=2，
如图1，设AH交x轴于点K，

在Rt△AOK中，可得∠OAK=30°，
∴OK=$\frac{1}{2}$OA=1，AK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=$\sqrt{3}$，
∴A（1，$\sqrt{3}$），
∴k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）设G（x，0），且A（1，$\sqrt{3}$），C（-4，0），
∴AG=$\sqrt{（x-1）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$，CG=|x+4|，AC=$\sqrt{（1+4）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵△ACG是等腰三角形，
∴有AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况，
①当AG=CG时，则$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$=|x+4|，解得x=-$\frac{6}{5}$，此时G点坐标为（-$\frac{6}{5}$，0）；
②当AG=AC时，则$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$=2$\sqrt{7}$，解得x=-4（与C点重合，舍去）或x=6，此时G点坐标为（6，0）；
③当CG=AC时，则|x+4|=2$\sqrt{7}$，解得x=-4+2$\sqrt{7}$或x=-4-2$\sqrt{7}$，此时G点坐标为（-4+2$\sqrt{7}$，0）或（-4-2$\sqrt{7}$，0）；
综上可知G点坐标为（-$\frac{6}{5}$，0）或（6，0）或（-4+2$\sqrt{7}$，0）或（-4-2$\sqrt{7}$，0）；
（3）y₁＜y₂．理由如下：
由（1）可知反比例函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，
∵P（x₁，a），Q（x₂，b）（x₂＞x₁＞0）在反比例函数图象上，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{1}}$，b=$\frac{\sqrt{3}}{{x}_{2}}$，
∴m=$\sqrt{\frac{a+b}{2k}}$=$\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{{x}_{1}}+\frac{\sqrt{3}}{{x}_{2}}}{2\sqrt{3}}}$=$\sqrt{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}}$，
∴m²-n²=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$＞0，即m²-n²＞0，
∴m²＞n²，
又由题意可知m＞0，n＞0，
∴m＞n，
∵M（m，y₁），N（n，y₂）在反比例函数y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，且在第一象限，
∴y₁＜y₂．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、反比例函数图象的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中由旋转的性质求得OA=AF=OF是解题的关键，在（2）中用G点坐标分别表示出GC、AG和AC的长是解题的关键，注意分情况讨论，在（3）中比较出m、n的大小关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．