Question

如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．
（1）若CG=4，求DG的长；
（2）若CG=BD，求证：AB=AC+CE．

Answer 1

（1）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB=90°，∠AEC=∠BED，
∴∠CAD=∠DBE，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD=90°，
∴∠GCD-∠GCE=∠ACB-∠GCE，
∴∠ACG=∠BCD，
∵在△AGC和△BCD中

∴△AGC≌△BCD（ASA），
∴CD=CG，
∴△CDG为等腰直角三角形，
∴DG=CG=4；

（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，
∵△AGC≌△BCD，
∴AG=BD，
∵CG=BD，
∴AG=CG，
∴∠GAC=∠GCA，
∵△CDG为等腰直角三角形，
∴∠CGD=45°，
∴∠GAC=22.5°，
∵AC⊥BC，CF=CE，
∴△AEF为等腰三角形，
∴∠FAC=∠EAC=22.5°，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，
∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，
∴∠F=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠F=∠FAB，
∴AB=BF，
而BF=BC+CF=AC+CE，
∴AB=AC+CE．
分析：（1）由AD⊥BD得到∠ADB=90°，而∠ACB=90°，∠AEC=∠BED，根据三角形内角和得∠CAD=∠DBE，再根据等角的余角相等得到∠ACG=∠BCD，然后利用“ASA”可判断△AGC≌△BCD，则CD=CG，于是得到△CDG为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到DG=CG=4；
（2）延长EC到F使CF=CE，由△AGC≌△BCD得到AG=BD，由CG=BD可代换得到AG=CG，则∠GAC=∠GCA，而∠CGD=45°，所以∠GAC=22.5°，再利用AC⊥BC，CF=CE，得到△AEF为等腰三角形，于是∠FAC=∠EAC=22.5°，利用∠CAB=45°，∠ABC=45°可计算出∠FAB=67.5°，∠F=67.5°，得到∠F=∠FAB，所以AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，即有AB=AC+CE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．