Question

6．如图，△ABC、△DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：△CNM为等边三角形．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质求出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，再由SAS定理得出△ACD≌△BCE，根据点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点得出MC=NC，故∠ACM=∠BCN，所以∠ACB=∠MCB+∠ACM=∠MCB+∠BCN=∠MCN=60°，再由MC=NC即可得出结论．

解答 证明：△ABC，△DEC均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD．
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠DAC=∠CBE，AD=BE，
又∵点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，
∴AM=BN，
在△ACM与△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAM=∠CBN}\\{AM=BN}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△BCN（SAS）．
∴MC=NC
∴∠ACM=∠BCN，
∴∠ACB=∠MCB+∠ACM=∠MCB+∠BCN=∠MCN=60°．
∵MC=NC，
∴△CNM为等边三角形．

点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知判定全等三角形的SSS，SAS及AAS定理是解答此题的关键．