Question

【题目】好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(x+4)(2x+5)(3x-6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：x2x3x＝3x3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x．

请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．

(1)计算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为_____．

(2)(x+6)(2x+3)(5x-4)所得多项式的二次项系数为_______．

(3)若计算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值；

(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，则a2020=_____．

Answer 1

【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．

【解析】

（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．

（2）求二次项系数，还有未知数的项有x、2x、5x，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．

（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a的值．

（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．

解：（1）由题意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．

（2）由题意可得(x+6)(2x+3)(5x-4) 二次项系数是：

．

（3）由题意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次项系数是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3．

（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．

所以(x+1)2021一次项系数是：a2020=2021×1=2021．

故答案为：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．