Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一点，连结BE并延长交AC于点F． 
（1）求证：BE=AC，BF⊥AC．
（2）连接CE，并延长交AB于P，求证：CP⊥AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用SAS得到三角形BED与三角形ACD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AC，且∠EBD=∠CAD，利用对顶角得到∠AEF=∠BED，根据等式的性质得到BF垂直于AC；
（2）由三角形ABD与三角形EDC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到∠PBC=∠PCB=45°，进而得到∠CPB为直角，即可得证．

解答：证明：（1）在△BED和△ACD中，

BD=AD ∠BDE=∠ADC=90° ED=CD

，
∴△BED≌△ACD（SAS），
∴BE=AC，∠EBD=∠CAD，
∵∠EBD+∠BED=90°，∠AEF=∠BED，
∴∠CAD+∠AEF=90°，即∠AFE=90°，
则BF⊥AC；
（2）∵△ABD和△ECD都为等腰直角三角形，
∴∠PBC=∠PCB=45°，
∴∠CPB=90°，即CP⊥AB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．