Question

17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，A（3，0），D（1，1），点B，C在第一象限内．
（1）求点B的坐标；
（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x中向左平移，设运动时间为t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B，D两点的对应点B′、D′所在直线与y轴交于点E，并且OE=OA，请求出此时t的值以及直线B′D′的解析式；
（3）在（2）的条件下，求出点B′、D′的坐标．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，先证得△ADN≌△ABM，得出AM=DN，BM=AN，根据A（3，0），D（1，1）得出ON=1，DN=1，OA=3，进而得出OM=4，BM=2，AN=2，从而求得B的坐标．
（2）根据B、D的坐标，利用待定系数法即可求得直线BD的斜率k=$\frac{1}{3}$，然后根据题意即可得出直线B′D′的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3；根据平移的性质，根据B、D的坐标得出B′（4-t，2），D′（1-t，1），代入直线B′D′的解析式即可求得t的值．
（3）根据B′（4-t，2），D′（1-t，1），和t的值即可求得点B′、D′的坐标．

解答 解：（1）作BM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵∠DAB=90°，
∴∠DAN+∠BAM=90°，
∴∠DAN=∠ABM，
在△ADN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠ABM}\\{∠AND=∠AMB=90°}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ABM（AAS），
∴AM=DN，BM=AN，
∵A（3，0），D（1，1），
∴ON=1，DN=1，OA=3，
∴AN=2，
∴OM=4，BM=2，
∴B（4，2）．

（2）∵B（4，2），D（1，1），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{1}{3}$，
∵正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，且OE=OA，
∴直线B′D′的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+3，
B′（4-t，2），D′（1-t，1），
∴1=$\frac{1}{3}$（1-t）+3，解得t=7，

（3）∵t=7，B′（4-t，2），D′（1-t，1），
∴B（-3，2），D（-6，1）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，平行线的性质等，熟悉两条平行线的斜率相等是解题的关键．