Question

18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=-3，对称轴与x轴交于点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；
（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）分点N在M点左上方和右下方两种情况进行讨论，根据BC=MN，列出x的一元二次方程，解方程求出x的值，进而求出点的坐标；
（3）首先求出点D的坐标，然后作∠DBC的角平分线，求出线段CD的中点坐标，解出直线与抛物线的交点，进而求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4交x轴于A（2，0），
∴0=4a+2b-4，
∵对称轴是x=-3，
∴-$\frac{b}{2a}$=-3，即6a-b=0，
关于a、b的方程联立$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-4=0}\\{6a-b=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4．
（2）∵四边形为平行四边形，且BC∥MN，
∴BC=MN．
①N点在M点左上方
$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4=-4
解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=-6，
∴M（-6，-4）．
②M点在N右下方
$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x-4=4
解得 x=-3-$\sqrt{41}$，或x=-3+$\sqrt{41}$，
∴M（-3-$\sqrt{41}$，4）或（-3+$\sqrt{41}$，4）
综上所述，M的坐标为（-6，-4）或（-3-$\sqrt{41}$，4）或（-3+$\sqrt{41}$，4）．
（3）∵OC=4，OB=3，
∴BC=5．
如果△PBD≌△PBC，那么BD=BC=5，
∵D在x轴上，
∴D为（2，0）或（-8，0）．
①当D为（2，0）时，如图1，连接CD，过B作直线BE平分∠DBC交CD于E，交抛物线于P₁，P₂，
此时△P₁BC≌△P₁BD，△P₂BC≌△P₂BD，
∵BC=BD，
∴E为CD的中点，即E（1，-2），
设过点E（1，-2），B（-3，0）的直线y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2=k+b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BE解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
设P（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4+\sqrt{26}}\\{y=\frac{1-\sqrt{26}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4-\sqrt{26}}\\{y=\frac{1+\sqrt{26}}{2}}\end{array}\right.$，
则P₁（-4+$\sqrt{26}$，$\frac{1-\sqrt{26}}{2}$），P₂（-4-$\sqrt{26}$，$\frac{1+\sqrt{26}}{2}$）；
②当D为（-8，0）时，如图2，连接CD，过B作直线BF平分∠DBC交CD于F，交抛物线于P₃，P₄，
此时△P₃BC≌△P₃BD，△P₄BC≌△P₄BD，
∵BC=BD，
∴F为CD的中点，即F（-4，-2），
设过F（-4，-2），B（-3，0）的直线为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-2=-4k+b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，
解得k=2，b=6，
所以直线BF的解析式为y=2x+6，
设P（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+6}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{41}}\\{y=8+2\sqrt{41}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{41}}\\{y=-2\sqrt{41}+8}\end{array}\right.$，
∴${P_3}_{\;}（\sqrt{41}+1，2\sqrt{41}+8）$、${P_4}_{\;}（-\sqrt{41}+1，-2\sqrt{41}+8）$，
综上所述，${P_1}（-4+\sqrt{26}，\frac{{1-\sqrt{26}}}{2}）$、${P_2}（-4-\sqrt{26}，\frac{{1+\sqrt{26}}}{2}）$、${P_3}_{\;}（\sqrt{41}+1，2\sqrt{41}+8）$、${P_4}_{\;}（-\sqrt{41}+1，-2\sqrt{41}+8）$．

点评 本题主要考查了二次函数综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，解答（2）问的关键是对M和N点的位置进行讨论，解答（3）问的关键是熟练掌握三角形全等的条件，此题有一定的难度．