Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，∠ABC=60°，延长AD到E，使DE=AD，延长DC到F，使DC=CF，连接BE、BF和EF．
（1）求证：△ABE≌△CFB；
（2）如果AD=6，tan∠EBC的值．

Answer 1

解：（1）证明：在△BAE与△FCB中，
∵，
∴△BAE≌△FCB；

（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，
∵△BAE≌△FCB，
∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，
又∵AE∥BC，
∴△BEF为等腰三角形，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FBG，
∴BG⊥EF，
∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，
∴四边形AMGE为矩形，
∴AM=EG，
在Rt△ABM中，
AM=AB•sin60°=6×=3，
∴EG=AM=3，
BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，
∴tan∠EBC=．
分析：（1）根据SAS即可作出证明．
（2）根据（1）的结论结合AE∥BC可得出△BEF为等腰三角形，进而在Rt△EGB中可求出EG、BG的长度，这样也就得出了答案．
点评：本题考查等腰梯形的性质，难度一般，解答本题的关键是根据题意得出解题需要的条件．