Question

2．已知关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-m=o有两个实数根a、b；
（1）求实数m的取值范围；
（2）求代数式a²+b²-3ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（-2m）²-4（m²-m）≥0，然后解不等式即可；
（2）由根与系数的关系得出a+b=2m，ab=m²-m，将代数式a²+b²-3ab变形为（a+b）²-5ab=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，即可求出最大值．

解答 解：（1）根据题意得△=（-2m）²-4（m²-m）≥0，
解得m≥0；

（2）∵关于x的一元二次方程x²-2mx+m²-m=0有两个实数根a、b，
∴a+b=2m，ab=m²-m，
∴a²+b²-3ab=（a+b）²-5ab
=（2m）²-5（m²-m）
=-m²+5m
=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
由（1）得m≥0，
∴代数式a²+b²-3ab的最大值为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
也考查了根与系数关系，配方法的应用．