操作:在△ABC中.AC=BC=2.∠C=90°.将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处.将三角板绕点P旋转.三角板的两直角边分别交射线AC.CB于D.E两点．图①.②.③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究:(1)三角板绕点P旋转.观察线段PD和PE之间有什么数量关系?并结合图②加以证明．(2)三角板绕点P旋转.△PBE是否能成为等腰三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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9．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角形的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．
研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．
（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明．

分析（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；
（2）△PBE能成为等腰三角形，位置有四种；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，构造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用对应边成比例，就可以求出MD和ME之间的数量关系．

解答解：（1）如答图1，连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；

（2）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2-$\sqrt{2}$，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+$\sqrt{2}$时，此时PB=EB；

（3）MD：ME=1：3．
如答图2，过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四边形CFMH是平行四边形．
∵∠C=90°，
∴?CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵$\frac{CH}{HB}$=$\frac{AM}{MB}$=$\frac{1}{3}$，HB=MH，
∴$\frac{MF}{MH}$=$\frac{1}{3}$．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴$\frac{MD}{ME}$=$\frac{MF}{MH}$=$\frac{1}{3}$．

点评本题综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，勾股定理的计算要求也比较高．

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