Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为线段BC上一点（除端点外），连接PO并延长交AD于点Q，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE．
（1）求证：BP=DQ；
（2）已知AB=5，AC=6，若CD=$\frac{1}{2}$BE，求△BDE的周长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，OB=OD，AD=BC，CD=AB，得出∠OBP=∠ODQ，由ASA证明△BOP≌△DOQ，得出对应边相等即可；
（2）先证明四边形ACED是平行四边形，得出DE=AC=6，再证明△BDE是直角三角形，根据勾股定理求出BD，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OB=OD，AD=BC，CD=AB，
∴∠OBP=∠ODQ，
在△BOP和△DOQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBP=∠ODQ}&{\;}\\{OB=OD}&{\;}\\{∠BOP=∠DOQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△DOQ（ASA），
∴BP=DQ；
（2）解：∵AD=BC，CE=BC，
∴AD=CE=BC，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=6，
∵CD=$\frac{1}{2}$BE，
∴∠BDE=90°，BE=2CD=2AB=10，
∴BD=$\sqrt{B{E}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}$=8，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．