Question

13．如图，△ACD内接于⊙O，CB垂直于过点D的切线，垂足为B，如果BC=3，sin∠A=$\frac{3}{4}$，那么⊙O的半径为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 作直径DE，连接CE；先由弦切角定理求出∠BDC=∠A，再根据三角函数求出CD，然后在Rt△DCE中，由三角函数求出直径DE，即可得出半径．

解答 解：作直径DE，连接CE，如图所示：
则∠DCE=90°，
∵CB垂直于过点D的切线，
∴∠DBC=90°，∠BDC=∠A，
∵BC=3，sin∠A=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BDC=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴CD=4，
∵∠E=∠A，
∴sin∠E=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{3}{4}$，
∴DE=$\frac{16}{3}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{8}{3}$；
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、弦切角定理以及三角函数的运用；熟练掌握圆的有关定理，通过作辅助线构造直角三角形，正确解直角三角形是解决问题的关键．