Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3com，动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM、PN，设移动时间为t秒（0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A、P、M为顶点三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积为4.4cm²？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，以A、P、M为顶点三角形与△ABC相似分两种情况△AMP∽△ABC，△APM∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例即可得出t的值；
（2）过点P作PH⊥BC于点H，则∠PHB=90°，故可得出∠BPH∽△BAC，再由相似三角形的对应边成比例可得出PH=

8

5

t，由S_{四边形APNC}=S_△ABC-S_△BPH即可得出结论．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB²=AC²+BC²，即AB²=4²+3²，
∴AB=5．
（1）以A、P、M为顶点三角形与△ABC相似分两种情况．
①当△AMP∽△ABC时，

AP

AC

=

AM

AB

，即

5-2t

4

=

4-t

5

，解得t=

3

2

；
②当△APM∽△ABC时，

AM

AC

=

AP

AB

，即

4-t

4

=

5-2t

5

，解得t=0（舍去）．
综上所述，当t=

3

2

秒时，以A、P、M为顶点三角形与△ABC相似；

（2）存在．
过点P作PH⊥BC于点H，则∠PHB=90°，
∵∠B=∠B，
∴∠BPH∽△BAC，
∴

BP

BA

=

PH

AC

，即

2t

5

=

PH

4

，解得PH=

8

5

t．
∵四边形APNC的面积为4.4cm²，
∴

1

2

×4×3-

1

2

×（3-t）•

8

5

t=4.4，
解得t₁=1，t₂=2．
答：1秒或2秒时，四边形APNC的面积为4.4cm²．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．