Question

2．细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
OA₂²=（$\sqrt{1}$）²+1=2      S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$；
OA₃²=1²+（$\sqrt{2}$）²=3       S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
OA₄²=1²+（$\sqrt{3}$）²=4       S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
…
（1）（直接写出答案）OA₁₀=$\sqrt{10}$．
（2）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律．
（3）求出S${\;}_{1}^{2}$+S${\;}_{2}^{2}$+S${\;}_{3}^{2}$+…+S${\;}_{10}^{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由给出的数据写出OA₁₀²的长，即可得出S₁₀的值；
（2）由（1）OA₁²，OA₂²，OA₃³…和S₁、S₂、S₃…S_n，找出规律即可得出结果；
（3）首先求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²的公式，然后把n=10代入即可．

解答 解：（1）∵OA₁²=1，OA₂²=2，OA₃²=3，…，
∴OA₁₀²=10，
∴OA₁₀=$\sqrt{10}$；
故答案为：$\sqrt{10}$；
（2）由（1）得：OA_n²=1²+（$\sqrt{n-1}$）²=n，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$；
（3）∵S₁²=$\frac{1}{4}$，S₂²=$\frac{2}{4}$，S₃²=$\frac{3}{4}$，…，S₁₀²=$\frac{10}{4}$，
∴S₁²+S₂²+S₃²+…+S_n²=$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+…+\frac{10}{4}$=$\frac{55}{4}$．

点评 本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度不大．