Question

12．阅读：
如图1，△ABC和△DBE中，AB=CB，DB=EB，∠ABC=∠DBE=90°，D点在AB上，连接AE，DC．求证：AE=CD，AE⊥CD．
证明：延长CD交AE于点F．∵AB=BC，BE=DB．∴Rt△AEB≌Rt△CDB．
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB．∵∠DCB+∠CDB=90°，∠ADF=∠CDB．
∴∠ADF+∠DAF=90°．∴∠AFD=90°．∴AE⊥CD．
类比：
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE，CD之间的数量和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
拓展：
若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC=∠DBE=90°”改为“∠ABC=∠DBE=α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问（直接回答问题结果，不要求写结论过程）：
①图3中的线段AE，CD是否仍然相等？
②线段AE，CD的位置关系是否发生改变？若改变，其所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变化，其值多少？

Answer 1

分析 类比：根据∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再证出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOF=∠COB，得出∠FOA+∠FAO=90°，∠AFC=90°，即可证出AE⊥CD；
拓展：①根据∠DBE=∠ABC=α，于是得到∠ABE=∠DBC，推出△AEB≌△CDB，即可得到结论；
②通过△AEB≌△CDB，根据全等三角形的性质得到∠EAB=∠DCB，由对顶角相等得到∠AHF=∠CHB，于是得到∠AFH=∠ABC=α．

解答 解：类比：AE=CD，AE⊥CD，
证明：∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠DCB+∠COB=90°，∠AOF=∠COB，
∴∠FOA+∠FAO=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD；

拓展：①AE=CD，
∵∠DBE=∠ABC=α，
∴∠ABE=∠DBC，
在△AEB和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CDB，
∴AE=CD；
②线段AE，CD的位置关系发生改变，其所在直线的夹角大小不随着图形的旋转而发生变化，
∵△AEB≌△CDB，
∴∠EAB=∠DCB，
∵∠AHF=∠CHB，
∴∠AFH=∠ABC=α，
∴线段AE，CD的位置关系发生改变，其所在直线的夹角大小不随着图形的旋转而发生变化．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点全等三角形的判定与性质，关键是能在较复杂的图形中找出全等的三角形．