Question

8．如图所示，在平面直角坐标系内有A、B两点，△A0B中∠OAB=90°，AO=4，AB=3，BO=5，点A横坐标与点B横坐标的比为16：25．
（1）求点A坐标；
（2）现有一动点P从原点出发，向x轴正半轴方向以每秒1个单位长度运动，另一动点Q从点B出发，向x轴负半轴方向以每秒3个单位长度运动，运动时间为t，求用含t的式子表示三角形APQ的面积；
（3）在（2）的条件下，当S_APQ=$\frac{1}{2}$S_ABO时，求t的值和P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，点B（5，0），点A横坐标与点B横坐标的比为16：25，设点A的坐标为（x，y），列方程得到x=3.2，然后根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结果；
（3）根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：（1）由题意可得，点B（5，0），点A横坐标与点B横坐标的比为16：25，
设点A的坐标为（x，y）
则，$\frac{x}{5}=\frac{16}{25}$
解得，x=3.2
∵OA=4
∴$y=\sqrt{O{A}^{2}-{x}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-3．{2}^{2}}$=2.4
故点A的坐标为（3.2，2.4）

（2）∵PQ=5-t-3t，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}×（5-4t）$×2.4=-$\frac{24}{5}$t+6；

（3）∵S_△ABO=$\frac{1}{2}×5×\frac{12}{5}$=6，S_△APQ=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴-$\frac{24}{5}$t+6=$\frac{1}{2}×6$，
解得：t=$\frac{5}{8}$；
∴P（$\frac{5}{8}$，0），Q（$\frac{25}{8}$，0）．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，勾股定理，求点的坐标，熟练掌握各知识点是解题的关键．